舉例，對於 1 ~ 4 的乙個全排列 [1, 2, 3, 4] 和 [4, 3, 2, 1]，我們知道，按字典序，前者是該全排列集合的第乙個，後者是該集合的最後乙個。那麼，所謂康托展開，就是給定乙個 n 位數的全排列，我們可以根據康托展開公式確定其應當是字典序中的第「幾」個全排列。
康托展開計算的就是某個全排列在該全排列集合中的字典序 (或者說是排名)，其對映關係唯一且單調，故該對映關係是可逆的。
因此，我們也可以根據某個字典序號，利用康托逆展開得到相應的那個全排列。
給定乙個全排列，計算其字典序。直觀起見，我們舉例 [2, 3, 4, 1] 來說明康托展開的運作步驟：
令所求字典序為 rank=0
第 1 位是 2， 那麼以 1 打頭的所有全排列一定排在這個全排列之前，那麼以 1 打頭的全排列有 3！= 6 種，
rank = rank + 1 ∗ 3！= 6。
第 2 位是 3，那麼以 1 與 2 作為第二位的所有全排列一定在這個圈排列之前。不過我們已經讓 2 打頭了，因此不需要再考慮 2 佔第二位的情況，只需要計算 1 佔第二位的情況。
rank = rank + 1 ∗ 2！= 8
第三位是 4，同時，我們計算以 1 佔第三位的所有情況。
rank = rank + 1 ∗ 1！= 9
最後一位，是不需要判定的，因為前 n−1 位給定後，第 n 位自定。當然，為了也適應前面推導，可以記
rank = rank + 0 ∗ 0！= 9
因此，排在 [2, 3, 4, 1] 之前的全排列共有 9 個，那麼 [2, 3, 4, 1] 應當是第 10 個全排列。
總結康托展開公式為：
x =a
[n]∗
(n−1
)!+a
[n−1
]∗(n
−2)!
+...
+a[i
]∗(i
−1)!
+...
+a[1
]∗0!
x = a[n]∗(n−1)! + a[n−1]∗(n−2)! + ... + a[i]∗(i−1)! + ... + a[1]∗0!
x=a[n]
∗(n−
1)!+
a[n−
1]∗(
n−2)
!+..
.+a[
i]∗(
i−1)
!+..
.+a[
1]∗0
!其中，各項係數a
ia_i
ai表示每個數字對應的逆序的個數，即原排列中，排在下標 i
ii 後面的，比下標 i
ii 的字元還小的字元個數。當然，如果排名是從 1 開始的話，最終結果應當再 + 1。
c++**實現如下：
//對前 10 個自然數(0 ~ 9)的階乘存入表
//以免去對其額外的計算
const
int fact[10]
=;/** * @brief 康拓展開
* * @param[in] permutation 輸入的乙個全排列
* @param[out] num 輸入的康拓對映，即是第幾個全排列
*/int
contor
(const vector<
int>
& permutation)
return num +1;
}
給定，字元個數 4，字典序序號 10，首先字典序 - 1 得到排在該字典序之前的全排列個數，然後：
9 / 3！結果，商 1 餘 3，說明首位要余出乙個給 當前沒用過的，最小的乙個字元，因為它們佔據了前 6 個排序。這裡 「1」 沒有用過，又是最小的字元，因此，我們應當使用 「2」 作為首位，並標記其已經使用。取餘數進行下一步操作。
3 / 2！ 結果，商 1 餘 1，說明第二位要余出乙個給 當前沒用過的，最小的字元。這裡 「1」 沒有用過，「2」 已經用了。因此，我們應當使用 「3」 作第二位。
1 / 1！結果，商 1 餘 0，說明第三位要余出乙個給 當前沒用過的，最小的字元。這裡 「1」 沒有用過，「2」 已經用了，「3」也用了。因此，我們應當使用 「4」 作第三位。
同康托展開，最後一位無需判斷，所有字元中至今未使用的填入即可。
c++**實現如下：
//對前 10 個自然數(0 ~ 9)的階乘存入表
//以免去對其額外的計算
const
int fact[10]
=;/** * @brief 逆康拓展開
* * @param[in] bits 給定全排列的使用數字個數
* @param[in] num 給定全排列的次位
* @param[out] permutation 輸出對應的全排列
*/vector<
int>
revcontor
(int bits,
int num)}}
return permutation;
}
此外，康托展開也是乙個陣列到乙個數的對映，可以應用於hash中進行空間壓縮。例如，在八數碼問題中，我們可以把一種排列狀態壓縮成乙個整數存放在陣列中。
康托展開 康托逆展開
x a n n 1 a n 1 n 2 a i i 1 a 1 0 其中a i 為當前未出現的元素中是排在第幾個 從0開始 這就是康托展開。康托展開可用 實現。編輯 把乙個整數x展開成如下形式 x a n n 1 a n 1 n 2 a i i 1 a 2 1 a 1 0 其中a i 為當前未出現的...
康托展開 逆康托展開
康托展開 問題 給定的全排列，計算出它是第幾個排列 求序列號 方法 康托展開 對於乙個長度為 n 的排列 num 1 n 其序列號 x 為 x a 1 n i a 2 n 2 a i n i a n 1 1 a n 0 其中a i 表示在num i 1 n 中比num i 小的數的數量 includ...
康托展開 逆康托展開
用途 康托展開是一種雙射，用於排列和整數之間的對映，可用於排列的雜湊 康托展開 公式 i n1pi i 1 sum limits p i i 1 i n 1 pi i 1 其中p ip i pi 為第i ii個數構成的逆序的個數，n為排列數的個數 例 排列 2134 i n1pi i 1 sum l...