線性系統（linear system）：乙個鬆弛系統稱為線性的，當且僅當對於任何的輸入u
1u_1
u1和u
2u_2
u2，以及任何的實數α
\alpha
α，均有
h (u
1+u2
)=hu
1+hu
2h(u_1+u_2)=hu_1+hu_2
h(u1+
u2)
=hu1
+hu
2h (α
u1)=
αhu1
h(\alpha u_1)=\alpha hu_1
h(αu1
)=αh
u1否則稱為是非線性的。
簡言之，乙個線性系統需要滿足兩條：可加性、齊次性，那麼對於描述系統的數學模型來說，比如微分方程中，每一項只是這樣的形式
a nd
ny(t
)dtn
∀n∈n
a_n\frac\quad\forall n\in\mathbb n
andtn
dny(
t)∀
n∈n就稱之為線性系統，滿足可加性和齊次性。
那麼什麼樣子是非線性系統呢？例如：帶三角函式的sin
sinsi
n、co
scos
cos、tan
tanta
n或者dnx
(t)d
tn⋅d
mx(t
)dtm
\frac\cdot\frac
dtndnx
(t)
⋅dtm
dmx(
t)，諸如此類不符合可加性和齊次性的均為非線性系統，統一使用f(x
)f(x)
f(x)
表示。在《矩陣論》中，第一章必然講到線性空間、線性相關和線性變換，那麼這裡的線性又為什麼叫這個名字？與自動控制原理、現代控制理論中的線性是不是乙個線性呢？答案是肯定的。
我們回到最簡單的形式，將[自動控制原理][01][zhangfan_space]——因果系統的理解中的連續系統的微分方程，考慮最簡單的情況：
a 0y
(t)=
b0u(
t)
a_0y(t)=b_0u(t)
a0y(t
)=b0
u(t
)直觀來看，是不是特別熟悉？與小學學習的一元一次方程特別像？沒錯，這玩意兒就是小學學過的一元一次方程y=k
xy=kx
y=kx
這就尷尬了！！！
它為啥叫線性呢，因為它在二維座標中畫出來是一條直線，它就是個直線，它不叫線性叫啥？
好的，再考慮稍微複雜一點的情況a1d
y(t)
dt+a
0y(t
)=b0
u(t)
a_1\frac+a_0y(t)=b_0u(t)
a1dtd
y(t)
+a0
y(t
)=b0
u(t
)如果我們將dy(
t)dt
\frac
dtdy(t
)當作新的變數，令其等於x(t
)x(t)
x(t)
，則左邊就等於a1x
(t)+
a0y(
t)
a_1x(t)+a_0y(t)
a1x(t
)+a0
y(t
)omg，這東西看著也很熟悉，這是二元一次方程
y =k
1x1+
k2x2
y=k_1x_1+k_2x_2
y=k1x
1+k
2x2
它還是三維空間的一條直線。
ok，放棄掙扎，我們所描述的系統的數學形式就是n
nn維空間的一條直線，所以它具備直線的性質，那麼問題又來了，直線的性質是什麼？
直線的性質即為一開始講的可加性和齊次性，那麼直觀來看是什麼樣呢？直觀從n
nn維空間去看，不嚴謹的講，一條直線上的任意兩點的連線都與原來的直線平行。
線性對映形如y=a
xy=ax
y=ax
仿射形如y=a
x+
by=ax+b
y=ax+b
，是在對映的基礎上加了乙個平移量
（注：不夠嚴謹的地方望指正，謝謝?）
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