1問：問一下，線性無關，在方程中怎樣表示啊，是未知量的個數多於方程的個數嗎？
2答：就是向量a無法用[b1,b2,...]的代數和表示
你說的那不是無關，是多解
1問：是啊，不能表示
但是只是定義啊
2答：你說的可以表示
1問：那方程的理解那
2答：只不過不是唯一表示
很多解啊
解不唯一
a1x+b1y+c1z=0
a2x+b2y+c2z=0
這個方程組解可能不唯一！
1問：
嗯，這是相關吧
無關的不是只有零解嗎
2答： 對
但是是未知量的個數多於方程的個數嗎也有無解的情況
並且係數還是相關的
我最後那句說錯了
3答：
y＝ax a滿秩
a可逆
a行列式不等於0
4答：
向量組的線性相關，是說這個向量組有「多餘的」向量，它們可以用其他的向量線性表示。去掉這些「多餘的」向量。對於原來向量組張成的向量空間沒有影響
向量組的線性無關。是說這個向量組沒有「多餘的」向量。它的每乙個向量，都
不能夠用其他的向量線性表示，去掉任何乙個向量，就會使原來向量組張成的向
量空間變小。
5： 1，a1，a2。。。as是乙個向量組，記作a，b1，b2。。。bt是另乙個向量組，記作b。如果a可由b線性表示，並且s>t，則a必然線性相關。
理解：考慮特殊情況b中向量線性無關，則b可以作為乙個基，由s>t知，相當於在b裡面加入s-t個向量形成a，且這s-t個元素均可以由b中向量線性表示，因而b可以相當於a中的乙個極大線性無關組，所以a必然線性相關。
2，設包含m個n維向量的向量組a線性無關，那麼擴充套件a中每乙個向量為n+k維形成向量組b，則b仍然線性無關。
理解：考慮a中m個n維向量乘以對應的m個實係數k1，k2。。。km為0。這個相當於有n個等式的齊次線性方程組，其係數矩陣為m，由於a線性無關，所以只有0解，於是r（a）=m。
擴充套件為n+k維形成b後，未知量個數仍然為m，但是方程個數增加到n+k個，這k個新增方程的係數追加到m後面，必然可以被削成0，也就是
r（a）=m。所以仍然只有0解。
3，a是乙個相性無關向量組，則a的任意子集必然為線性無關組（相當於在a中減少列，不會影響最終0解）。b是乙個線性相關組，則向b中加入向量後，仍然是線性相關組。
補充例題：
1設t1,t2,......,tr是r個互不相同的數，r<=n.證明：向量組ai=(1,ti,ti^2,....ti^(n-1))t(i=1,2,...,r)線性無關
答：設x1×a1＋x2×a2＋...＋xr×ar＝0，證明x1＝x2＝...＝xr＝0。
此方程轉化為關於關於x1，x2，...，xr的方程組，係數行列式是范德蒙行列式，所以非零，由此方程組只有零解。
分析：設a=(a_1,a_2,...,a_n)，由|a|不等於0即得a為滿秩矩陣，故向量組ai=(1,ti,ti^2,....ti^(n-1))t(i=1,2,...,r)線性無關。
線性無關通俗點講就是解都等於0吧
整體：可以再增加n-r個向量，將r個向量增加為n個向量。
如果這n個向量都線性無關，那麼顯然r個向量也線性無關。
將r個互不相等的數t1,t2,......,tr擴充套件為n個互不相等的數t1,t2,......,tn；
同時將向量組ai=(1,ti,ti^2,....ti^(n-1))t(i=1,2,...,r)擴充套件為向量組ai=(1,ti,ti^2,....ti^(n-1))t(i=1,2,...,n)。
令a=[a1,a2,…,an],則|a|是n階范德蒙特行列式，|a|=∏(aj-ai),其中1≤i＜j≤n，因為i＜j，i≠j，ai≠aj，所以|a|≠0，r(a)=n，從而ａ的n個列向量線性無關，即t1,t2,......,tn線性無關。
因為r≤n，所以t1,t2,......,tr線性無關。
2
向量組α1,α2。αs是線形方程組ax=0的基礎解系，向量b不是方程組ax=0的解。證明b+α1，b+α2。b+αs線性無關答：
設k1（b+α1）＋k2（b+α2）＋...＋ks（b+αs）＝0 ...(1)(k1+k2+...+ks)b+k1*a1+...+ks*as=0
向量組α1,α2。αs是線形方程組ax=0的基礎解系，向量b不是方程組ax=0的解,說明b不能由α1,α2,...αs線性表示（若能由其線性表示那麼b必定是方程組ax=0的解），從而b,α1,α2,...αs線性無關，所以依定義(k1+k2+...+ks)＝0，k1＝0，...，ks＝0.所以也就得（1）式線性無關（定義）。證畢。
反證法：
只需使用定義的變形，就可以解答此題。這是大學許多數學問題的共同現象。假設結論不成立，存在不為0的常數k1,k2,k3滿足：k1*(b+α1)+k2*(b+α2)+k3*(b+αs)=0,（1）
等式兩邊同時左乘a，可化簡的：
（k1+k2+k3）*ab=0，（2）
(因為，α1,α2。αs是線形方程組ax=0的基礎解系，則aαi=0,i=1,2,s.)
由於b不是方程組ax=0的解，故ab不為0矩陣。那麼，必有（k1+k2+k3）=0，（3）
將（3）代入（1）式，得
k1*α1+k2*α2+k3*αs=0，又向量組α1,α2。αs是線形方程組ax=0的基礎解系，故α1,α2。αs線性無關，則k1=k2=k3=0.與k1,k2,k3中有不為0矛盾。
3有一原理：若α1，α2，……，αs線性無關，則它的任一延伸組（α1，β1）t，（α2，β2）t，……，（αs，βs）t，必線性無關
在求齊次方程組的基礎解系時，要按階梯形給自由變數賦值，就可確保延伸後的解向量是線性無關的，也是基於這一原理。
問：在求齊次方程組的基礎解系時，是怎樣基於這個原理的，請舉乙個例子解釋一下。
答：假設：x3，x4為自由變數。在賦值的時候保證x3，x4線性無關，設為（0，1）；（1，0）。則能夠保證解向量α（x1，x2，0，1）和β（x1，x2，1，0）必定線性無關。（基礎解系解向量之間必須滿足的條件：線性無關）
LDA線性判別原理解析 數學推導
lda linear discriminant analysis 是機器學習中線性分類模型，本文從以下三個方面進行解析 一 lda線性判別的思想 二 lda求參過程的數學原理 三 lda例項應用 貝葉斯角度 1 對於多維空間中的資料處理分類問題較為複雜，lda演算法將多維空間中的資料投影到一條直線上...
學校OJ 組合數學 無關的元素
時間限制 1 sec 記憶體限制 128 mb 提交 193 解決 42 提交 狀態 我的提交 對於給定的n個數a1，a2，an，依次求出相鄰兩數之和，將得到乙個新數列。重複上述操作，最後結果將變成乙個數。問這個數除以m的餘數與哪些數無關？例如n 3，m 2時，第一次求和得到a1 a2，a2 a3，...
高數學習筆記之線性和非線性的區別
線形指量與量之間按比例 成直線的關係，在空間和時間上代表規則和光滑的運動 飛線性則指不按比例 不成直線的關係代表不規則的運動和突變。如果從系統狀態空間表示式來觀察，線性系統和非線性系統最明顯的區別方式就是線性系統符合疊加原理，而非線性系統不然。換句話說線性系統只有狀態變數的一次項。高次 三角函式以及...