計算a^n%p的值，怎麼算呢？直接算當然可能溢位。我們有一條引理：(a*b)%p=((a%p)*(b%p))%p.在這個引理上進行指數上的合併從而得到快速冪演算法。
具體地，有兩種思路，一種是減小a值，以防溢位，一種是減小b值，加快計算。
怎麼減小a值？a=a%p，就把a的值降到了p以下。對b呢，我們發現，( a%p)*(a%p)=(a^2)%p，如果a^n次方n為偶數，a^(2m)%p = ((a^2)^m)%p，如果n為奇數，就先單獨乘乙個a，剩下的又是偶數了，這樣n為偶數時就可以把n減小一半，從而降低了b的規模。
計算(a*b)%p怎麼辦？((a%p)*(b%p))%p還是會溢位。
下面用到一種思想，神奇與上面的快速冪有異曲同工之妙，把b看成二進位制表示。
舉個栗子：4*13%p，看成是4*1101(2)%p，其實表示的是4*(1*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0)%p，那麼我們在計算的時候就把b看成二進位制，如果二進位制最後一位是1，就說明這一位應該乘a取餘，為零說明這一位不用乘a，從低位開始不斷將b的二進位制式右移，同時將a乘以2，等同於把基數平方，原因見上式。
1 #include 2using
namespace
std;
3long
long q_mod(long
long a,long
long n,long
longp)4
14 a = (a*a)%p;//
合併a降n的規模
15 n /= 2;16
}17return
sum;18}
19long
long q_mul(long
long a,long
long b,long
long
p)20
28 (a <<= 1)%=p;//
不斷把a乘2相當於提高位數
29 b >>= 1;//
把b右移30}
31return
sum;
32 }
可以發現兩者非常的相似，差別在於結果變數的初值和計算中加號和乘號的區別。
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