快速冪快速冪取模

原文：

快速冪這個東西比較好理解，但實現起來到不老好辦，記了幾次老是忘，今天把它系統的總結一下防止忘記。

首先，快速冪的目的就是做到快速求冪，假設我們要求a^b,按照樸素演算法就是把a連乘b次，這樣一來時間複雜度是o(b)也即是o(n)級別，快速冪能做到o(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

假設我們要求a^b，那麼其實b是可以拆成二進位制的，該二進位制數第i位的權為2^(i-1)，例如當b==11時

a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

11的二進位制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我們將a¹¹轉化為算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) ，看出來快的多了吧原來算11次，現在算三次，但是這三項貌似不好求的樣子….不急，下面會有詳細解釋。　　由於是二進位制，很自然地想到用位運算這個強大的工具： & 和 >> 　　&運算通常用於二進位製取位操作，例如乙個數 & 1 的結果就是取二進位制的最末位。還可以判斷奇偶x&1==0為偶，x&1==1為奇。　　>>運算比較單純,二進位制去掉最後一位，不多說了，先放**再解釋。　　

int poww(int a,int b)
return ans;
}

b>>=1 中的》=意思是先將變數b的各個二進位制位順序右移1位，最高位補二進位制0，然後將這個結果再複製給b。

**很短，死記也可行，但最好還是理解一下吧，其實也很好理解，以b==11為例，b=>1011,二進位制從右向左算，但乘出來的順序是 a^(2^0)a^(2^1)*a^(2^3)，是從左向右的。我們不斷的讓base=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。

其中要理解base*=base這一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然後同理 base^4*base4=base^8,,,,,see?是不是做到了base–>base^2–>base^4–>base^8–>base^16–>base^32…….指數正是 2^i 啊，再看上面的例子，a¹¹= a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，這三項是不是完美解決了，，嗯，快速冪就是這樣。

順便囉嗦一句，由於指數函式是**增長的函式，所以很有可能會爆掉int的範圍，根據題意決定是用 long long啊還是unsigned int啊還是mod某個數啊自己看著辦。

還有，矩陣快速冪的求法唯一的區別就是*換成矩陣中的乘法，寫個函式代換嘛，思想一毛一樣。。

快速冪取模：

int powermod(int a, int b, int c)
return ans;
}

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