快速冪與快速冪取模

對大數時間複雜度的優化，具體操作是利用二進位制操作

11的二進位制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我們將a¹¹轉化為算 a(20)*a(21)*a(23) ，看出來快的多了吧原來算11次，現在算三次

& 運算還可以判斷奇偶x&1== 0為偶，x&1== 1為奇

int ksm ( int a, int b)
return ans;
}

以b==11為例，b=>1011,二進位制從右向左算，但乘出來的順序是 a(20) * a(21) * a(23)，是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。

typedef long long ll;
ll quick_pow(ll a, ll n)//a^n
return re;//如果需要取模 可對re和a取模
}

這一部分就跟數論關係很大了。取模也是數論問題中經常出現的。那麼對於冪來取模，如果我們直接用模運算實際上是速度很慢的（因為試除法）。所以我們不妨在求快速冪的時候新增一些內容，從而得到結果。這個演算法需要了解一下數論的乙個定理：

(ab) mod c = ((a mod c)(b mod c)) mod c

那麼根據上面的定理可以推導出另乙個定理：

(a^b) mod c = (a mod c)^b mod c

具體的證明這裡不再贅述，主要是看第二個定理，快速冪取模。我們可以在求快速冪的時候，通過對底數取模的方式，不斷縮小底數的規模。那麼我們在上面快速冪的基礎上，新增取模，就可以完成整個操作。

int pow_mod(int a,int b,int c)
return ans;
}

如果能理解上面的快速冪演算法，那麼這個也會比較好理解了。定理中，底數是要有一次取模運算的。這裡我們在給base賦值的時候就執行了一次。那麼對於後面的一次取模，我們實際上利用了分配率，即：

(ab) mod c = ((a mod c)(b mod c)) mod c

我們求冪的本質仍然是求積。所以每次我們對base或者ans進行運算的時候，都必須使用一次分配率，所以都要mod c。