揹包問題全記載

說明：部分揹包相對簡單不再贅述，後三者著重記錄一下0-1揹包問題，因為大同小異都是通用，核心思想是一樣的，尤其是利用一維陣列解決問題的辦法一定要記好。

一：部分揹包問題

問題分析：即可以把物品分割開裝入，相對來說是最容易理解的

方法：貪心演算法，優先放入''價量比''（價值除以質量）最大的，直到揹包不能再放入（或物品已取完）。

二：0-1揹包問題

問題分析：面對多種類別的物品，我們的選擇只有裝或者不裝，不能多次裝更不能分割後裝

給定 n 種物品和乙個容量為 c 的揹包，物品 i 的重量是 wi，其價值為 vi

設乙個k[n][c] 的二維陣列，k[ i ][ j ] 表示拿上第i個物品的時候，揹包容量為 j 時所能獲得的最大價值

方法：動態規劃，在當前揹包容量的基礎下可以獲得的最大收益（拿還是不拿，拿了到底夠不夠大，不夠大相當於還是不拿）

具體演算法分析：

若 j < w[i] 的情況，這時候揹包放不下第 i 件物品：k[ i ][ j ] = k[ i-1 ][ j ]（這個點判斷結束，繼續向後搜尋）

若 j>=w[i] 的情況，這時揹包可以放下第 i 件物品，則繼續考慮是否能獲取更大的價值。

如果確定留下，k[ i ][ j ]=k[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]（加上拿進來的物品的價值，同時要把消耗的容量減去）

如果不拿，k[ i ][ j ] = k[ i-1 ][ j ]

故重點在於狀態轉移方程（動態規劃專業名詞，我也不喜歡這麼叫，或者叫推導式哇）：

if(j>=w[i])               //揹包可以放下
k[i][j]=max(k[i-1][j],k[i-1][j-w[i]]+v[i]);//動態規劃的核心，在當前問題下判斷，最後總和
else                      //揹包放不下
k[i][j]=k[i-1][j];

靠這個狀態轉移方程為核心，可以解決很多麻煩，當然這僅僅解決了最優解值的問題（若問題只問最後裝的結果，那麼就可以放心去ac了），但如果問道關於最優解（說白了就是到底是拿了哪幾個東西呢？）的時候，我們就需要再斟酌一下了。

那麼我們需要再多乙個函式來追逐具體物品，x[i]=0表示不拿，x[i]=1表示拿。如果k[n][c]=k[n-1][c] ,說明沒拿，則x[n]=0 ; 否則 x[n]=1。當x[n]=0時，由x[n-1][c]繼續構造最優解；當x[n]=1時，則由x[n-1][c-w[i]]繼續構造最優解，以此類推。（注意這個位置很巧妙的地方在於是倒著來的，在得到最優解值的條件下完成）

void traceback()
}x[1]=(k[1][c]>0)?1:0;
}

注：二維的方式便於理解，但是會有侷限性（時間複雜度等），故有必要談到利用一維的方式（而且在解決其他型別的揹包問題的時候也會用到）：

設k[j]表示重量不超過j公斤的最大價值可得出狀態轉移方程：kj=maxj（a[i]中表示重量，b[i]中表示價值）

//a[i]中表示重量，b[i]中表示價值

#includeusing namespace std;

int main()

; for(int i=1;i<=n;i++)

cout<三：完全揹包問題

問題分析：完全揹包表示每個物品可以取無限次，是0-1揹包問題的衍生，唯一限制只要加起來總容量不超過c就可以。

方法：動態規劃，核心同樣在於狀態轉移方程

具體演算法分析：其實和01揹包問題一樣，只是初始化的值和遞推公式需要稍微變化一下。不要被無限個所嚇倒，依舊拿著動態規劃的那乙個標尺來尋找：截至到目前的最優解！（即考慮揹包容量有多少，而且我可以選擇的物品的範圍是什麼）

同樣可以用kj表示前i間物品恰放入乙個容器為j的揹包可以獲得的最大價值：

則其狀態轉移方程依舊為：kj=maxj

同樣貼上**（注意和0-1揹包的區別）：

#includeusing namespace std;

int main()

; for(int i=1;i<=n;i++)

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=a[i];j<=m;j++)

cout<四：多重揹包問題

問題分析：多重揹包中每個物品的個數都是給定的，不是乙個，也不是無限個。

方法：動態規劃，核心同樣在於狀態轉移方程

具體演算法分析：它與完全揹包有共同點是每個物品都有了一定的數量，狀態轉移方程更新為： k[j]=max

直接貼**看區別：

#includeusing namespace std;

int main()

int f[10001];

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=m;j>=0;j--)

for(int k=0;k<=c[i];k++)

cout<總結：以上寫的基於在學校學的淺層次的演算法基礎上，根據各位csdn大佬部落格總結歸納出來的（很多**很簡潔明瞭，我就直接用了，可以詳細參考文章開頭的鏈結）。揹包問題的核心就在於那個推導式，要有充分理解後運用在實戰中，不要看完理解了事。

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揹包問題全解

0 1揹包問題全解析

揹包問題 01揹包問題

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