揹包問題1（01揹包）

揹包問題（01揹包）

以下內容為學習過程的總結，可能有些copy網上內容，請不要在意這些細節！！

01問題的提出：有n件物品和乙個容量為v的的揹包，n件物品的費用為c[i](i=1--n);

價值為w[i]，問將那些物品放入揹包使得價值最大且不超過容量？

思路：01揹包的特點是每種物品只有一件，可以選擇放或不放，可以用子問題來定義狀態，即

f[ i ][ v ]表示第i件物品放入容量為v的揹包中可獲得最大的價值，則其狀態方程可以表示為

f[ i ][ v ]=max(f[i-1], f[i-1][v-c[i]+w[i]);

這個方程就是01揹包的全部內容，將前i件物品放入容量為v的揹包中」這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就可以轉化為乙個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入容量為v的揹包中」，價值為f[i-1][v]；如果放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入剩下的容量為v-c[i]的揹包中」，此時能獲得的最大價值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w[i]。

優化方法：

上面的方程式是用二維陣列，想想是否可以用一維陣列解決問題，所以就有了優化方法

**如下：

for i=1..n

for v=v..0
f[v]=max;

f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]兩個子問題遞推而來，能否保證在推f[i][v]時

（也即在第i次主迴圈中推f[v]時）能夠得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？

事實上，這要求在每次主迴圈中我們以v=v..0的順序推f[v]，這樣才能保證推f[v]時f[v-c[i]]儲存的是狀態f[i-1][v-c[i]]的值。

初始化細節：

對於01揹包的問題一般有兩種問題，

一是問將揹包裝滿時的最優解；

二是揹包不裝滿時的最優解；

對於以上兩種的陣列初始化是不一樣的，第一組要求揹包恰好裝滿著初始化要求f[0]=0;

f[1--n]=-∞  ；

對於第二種這要求全部初始化為0；

初始化的f陣列事實上就是在沒有任何物品可以放入揹包時的合法狀態。如果要求揹包恰好裝滿，那麼此時只有容量為0的揹包可能被價值為0的nothing「恰好裝滿」，其它容量的揹包均沒有合法的解，屬於未定義的狀態，它們的值就都應該是-∞了。如果揹包並非必須被裝滿，那麼任何容量的揹包都有乙個合法解「什麼都不裝」，這個解的價值為0，所以初始時狀態的值也就全部為0了。

補充內容：

01揹包是最為基本的揹包型別，所以對01揹包的變形會有很多種，所以就需要你深刻理解01揹包的思想和實現步驟，這幾天做題發現了乙個變形，以後看到背的變形還會補充；

該題是hdu2955

這題是一道典型的01揹包，但所不同的是需要你用01揹包的思想轉化問題，題意是乙個劫匪想去搶銀行，給你乙個被抓的概率和幾個銀行和在這個銀行被抓的概率，一看題這不是把概率當揹包，套公式就完了，可是你想過概率怎麼加嗎？

所以這題做法不是將概率作為揹包，而是搶的錢作為揹包，計算出所有的錢的集合，然後遞減求的搶這些錢的概率，然後與你被抓的概率做比較，輸出大於該概率的係數，也就是你能搶的錢數，這個變形很有意思，當然會對你對01揹包理解更加深刻，做做吧！

**這裡就不給出了，網上別人的部落格有，不會可以看看！

中級篇 揹包問題1（01揹包）

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動態規劃（1） 01揹包問題

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