三類揹包問題全解析

01揹包問題

n 件物品和乙個容量為v的揹包，每件物品只能放一次。第i 件物品的費用是w[i] ，價值是v[i]，求將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

用子問題定義狀態：即f[i][j]表示前i件物品恰放入乙個容量為j的揹包可以獲得的最大價值。考慮第i個物品加入揹包或者不加入揹包，則其狀態轉移方程便是：

f[i][j] = max(f[i-1][j]，f[i-1][j-w[i]]+v[i])

依據這個思路，得到動態規劃的**如下：

public
intcountmaxvalue
(int
w,int[
] v,
int n,
int maxweight)
else}}
return f[n]
[maxweight]
;}

完全揹包問題

public
intcountmaxvalue
(int n,
int m,
int[
] w,
int[
] v)}}
return f[n]
[m];
}

多重揹包問題

有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i 種物品最多有p[i] 件可用，每件費用是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

這題目和完全揹包問題很類似。基本的方程只需將完全揹包問題的方程略微一改即可，因為對於第i 種物品有p[i]+1種策略：取0件，取1件……取p[i]件。令f[i][j] 表示前i種物品恰放入乙個容量為j的揹包的最大權值，則有狀態轉移方程：

f[i][j]=max(f[i−1][j−k∗w[i]]+k∗v[i])∣0<=k<=p[i]

演算法實現：

private
static
intcountmaxvalue
(int
w,int[
] v,
int[
] p,
int v)}}
return f[w.length]
[v];
}

混合揹包問題

如果將前面三個揹包混合起來，也就是說，有的物品只可以取一次（01揹包），有的物品可以取無限次（完全揹包），有的物品可以取的次數有乙個上限（多重揹包）。

有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i 種物品最多有p[i] 件可用，每件費用是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。其中p[i] =integer.maxv表示有無窮件可用。

可以等同於多重揹包問題。