0-1 揹包問題:給定 n 種物品和乙個容量為 c 的揹包,物品 i 的重量是 wi,其價值為 vi 。
問:應該如何選擇裝入揹包的物品,使得裝入揹包中的物品的總價值最大?
分析一波,面對每個物品,我們只有選擇拿取或者不拿兩種選擇,不能選擇裝入某物品的一部分,也不能裝入同一物品多次。
解決辦法:宣告乙個 大小為 m[n][c] 的二維陣列,m[ i ][ j ] 表示 在面對第 i 件物品,且揹包容量為 j 時所能獲得的最大價值,那麼我們可以很容易分析得出 m[i][j] 的計算方法,
(1). j < w[i] 的情況,這時候揹包容量不足以放下第 i 件物品,只能選擇不拿
m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]
(2). j>=w[i] 的情況,這時揹包容量可以放下第 i 件物品,我們就要考慮拿這件物品是否能獲取更大的價值。
如果拿取,m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-w[ i ] ] + v[ i ]。 這裡的m[ i-1 ][ j-w[ i ] ]指的就是考慮了i-1件物品,揹包容量為j-w[i]時的最大價值,也是相當於為第i件物品騰出了w[i]的空間。
如果不拿,m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同(1)
究竟是拿還是不拿,自然是比較這兩種情況那種價值最大。
由此可以得到狀態轉移方程:
if(j>=w[i])
m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);
else
m[i][j]=m[i-1][j];
例:0-1揹包問題。在使用動態規劃演算法求解0-1揹包問題時,使用二維陣列m[i][j]儲存揹包剩餘容量為j,可選物品為i、i+1、……、n時0-1揹包問題的最優值。繪製
價值陣列v = ,
重量陣列w = ,
揹包容量c = 12時對應的m[i][j]陣列。01
2345
6789
1011121
0008
8888
8888
2000
881010
1010
1818183
0668
8141416
1618
182440
6699
1414
1717
1919245
0669
9141417
1719
212462
68911
1416
1719
1921
24(第一行和第一列為序號,其數值為0)
如m[2][6],在面對第二件物品,揹包容量為6時我們可以選擇不拿,那麼獲得價值僅為第一件物品的價值8,如果拿,就要把第一件物品拿出來,放第二件物品,價值10,那我們當然是選擇拿。m[2][6]=m[1][0]+10=0+10=10;依次類推,得到m[6][12]就是考慮所有物品,揹包容量為c時的最大價值。
例:#include #include using namespace std;
const int n=15;
int main()
; int w[n]=;
int m[n][n];
int n=6,c=12;
memset(m,0,sizeof(m));
for(int i=1;i<=n;i++)
} for(int i=1;i<=n;i++)
} x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;
}
某工廠預計明年有a、b、c、d四個新建專案,每個專案的投資額wk及其投資後的收益vk如下表所示,投資總額為30萬元,如何選擇專案才能使總收益最大?
project
wk
vka
1512b10
8c129
d85
#include #include using namespace std;
const int n=150;
int v[n]=;
int w[n]=;
int x[n];
int m[n][n];
int c=30;
int n=4;
void traceback()
} x[1]=(m[1][c]>0)?1:0;
}
int main()
}/*
for(int i=1;i<=6;i++)
}完全揹包:
for( i=1;i<=n;i++)
}題目**:
#include#include#includeusing namespace std;
int dp[100005];
int value[100005],weight[100005];
int main()
dp[0]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
}if(dp[m]!=0x3f3f3f3f)
printf("the minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n",dp[m]);
else
cout<<"this is impossible."《多重揹包:
對於多重揹包而言,就是在每個物品的基礎上多出了乙個數量,不再像完全揹包一樣可以無限的選取,這樣我們就要在選取時判斷是否還有該物品。
動態轉移方程為:
for(int i=1;i<=n;i++)}}
解題**:
#include#include#includeusing namespace std;
int dp[100005];
int value[100005],weight[100005],num[100005];
int main()
for(int i=1;i<=n;i++)}}
cout<}
return 0;
}
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01揹包和完全揹包的區別 01揹包的侷限在於每樣物品只有一種,每個物品都有乙個屬於自己的價值和重量,在給定的物品中選出揹包所能容納的最大重量,要求是價值最大 完全揹包與01揹包的不同在於完全揹包不限制每樣物品的個數,物品的價值和質量都與01揹包一樣,也同樣是求在給定大小的容量中,找出最大價值的選擇 ...
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