向量組與向量空間

1、n個有次序的數，組成的陣列稱為n維向量，這n個數稱作分量，第i個數稱作第i個分量。由若干個同維向量可組成向量組

2、向量組a與係數k的線性組合表示為：

如果：則稱向量b可以有向量組x線性表示

3、向量組b可以由向量組a線性表示的充要條件是r(a)=r(a,b)，而兩個向量組等價的條件是r(a)=r(b) =r(a,b)

4、線性相關與線性無關：如果存在不全為0的數k1,k2...km，使得

則稱向量組a是線性相關的，否則稱為線性無關。對於m=2的情況，即只有兩個向量a1,a2，線性相關的幾何意義是二者共線，對於m=3的情況，其意義是3向量共面。判斷線性相關的條件是r小於向量的個數。

5、線性相關與方程組，線性相關的代數意義即為齊次線性方程組:ax=0有非零解。即r(a)小於未知數的個數

6、最大無關組所含向量的個數，為向量組的秩，也即在求最大無關組時，先求出向量組的秩，再根據r的大小選取無關組。

7、齊次線性方程組的基礎解系與通解。如乙個齊次線性方程組的係數矩陣r(a)如下圖形式，並且經過行變換化為最簡式。

可以得到如下形式，其中x3與x4是自由未知數

令第一組資料x3=1,x4=-3；第二組資料x3=0,x4=4，可得基礎解析（個數等於n-r）

其通解為：

8、非齊次線性方程組的基礎解系與通解。如乙個非齊次線性方程組的係數矩陣r(a)如下圖形式，並且經過行變換化為最簡式。

我們帶入方程得到：

x3為自由未知數，我們為了得到乙個解，令x3=0，則：

接下來求基礎解系，因為r=3，則基礎解系的個數為n-4=4-3=1。求基礎解系時要忽略引數，將方程組考慮為齊次線性方程組，則：

其中我們令x3=1，則方程的基礎解系為:

而原非齊次線性方程組的通解為：

9、向量空間：設v為n維向量的集合，若v非空，且對於加法及乘數運算封閉，則稱集合v為向量空間。

10、齊次線性方程組的解集為向量空間，稱為解空間；非齊次線性方程組的解不是向量空間。

11、設v為向量空間，若r個向量a1,a2,...,ar屬於v，且滿足a1,a2,...,ar線性無關，v中的任意乙個向量都可由這r個向量表示，則稱a1,a2,...,ar是向量空間的乙個基，r稱為向量空間的維數，v為r維向量空間。如果把向量空間看做向量組，那麼v的基就是最大無關組，r就是v的秩。

12、由於空間v中的任一向量x都可由基a1,a2,...ar來表示為：

則稱k1,k1,...,kr為x在基a1,a2,...,ar的座標

13、由矩陣運算第15條，我們可以推出：若r個向量所組成的矩陣非滿秩，即其對應行列式的值為0，則幾個向量線性相關；若其矩陣滿秩，行列式值非0，則r個向量線性無關，其組成的空間v稱為r維空間，這r個向量稱為v的乙個基。