上一節筆記中命題4.4提供了一般性的類存在依據，以下就以此定義幾個特殊的類。
幾個特殊的類和新的函式符號
1. 考慮好式子φ(
x,y1
,y2)
為(∃u
)(∃v
)(x=v>∧u
∈y1∧
v∈y2
) ，顯然它是謂詞好式子。根據命題4.4可得，⊢(
∃z)(
∀x)(
x∈z⇔
φ(x,
y1,y
2)) 。再根據引理4.1.2擴充套件原則，可知
z 的唯一性（應用擴充套件原則證明唯一性有個顯然的技巧，就是對任意集合變數
x，都有x∈
z⇔b(
x)，右邊和
z 無關），即⊢(
∃1)(
∀x)(
x∈z⇔
(∃u)
(∃v)
(x=v>∧u
∈y1∧
v∈y2
))根據z
的唯一性，我們可以引入乙個新的函式符號
×，稱為cartesian乘積，即(∀
x)(x
∈y1×
y2⇔(
∃u)(
∃v)(
x=v>∧u
∈y1∧
v∈y2
))
a. (∀x
)(x∈
y1×y
2⇔(∃
u)(∃
v)(x
=v>∧u
∈y1∧
v∈y2
))b. y2
是y×y
的縮寫
c. y
n 是yn
−1×y
的縮寫
d. rel
(x) 是x⊆
v2的縮寫，即
x 是乙個關係（它從乙個」全宇宙的子集「對映到」另乙個全宇宙的子集「）
考慮謂詞好式子φ(
x,y)
為x⊆y
，由命題4.4可得⊢(
∃z)(
∀x)(
x∈z⇔
x⊆y)
，再根據擴充套件原則可知
z 的唯一性。因此，引入函式符號
p，稱為
y 的冪集，即
y的」子集「構成的類。
定義4.4.2：
a. (∀x
)(x∈
p(y)
⇔x⊆y
)
數理邏輯之 正規化
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