之前的筆記「數理邏輯1」介紹了命題演算，接下來在此基礎上介紹量化理論，即引入量詞符號
∀ 和相關的變數符號及函式符號。
基於命題演算的形式邏輯有個明顯的不足，就是難以表達諸如「所有x都具有y特性」這樣的句子。比如，著名的亞里斯多德三段論：所有人都會死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底會死。這個三段論僅用基於命題演算的形式邏輯是難以表達的。究其原因，是因為這類語句帶有量詞，例如「所有」，「有些」，「某個」。因此，本筆記的第二部分將介紹引入量詞後的形式邏輯系統。
引入量詞後的「邏輯語言」稱為一階邏輯語言，定義如下：
定義2.1： 乙個一階邏輯語言包含以下元素：
命題連線符號：¬,
⇒ ，和全稱量詞(universal quantifier)：
∀ 標點符號：左括號(， 右括號), 逗號,
可數的許多變數：x1
, x2
, … （注：這裡的「可數」採用樸素理解即可，若採用集合論的理解方式，即能與自然數一一對應，或者說該集合與自然數的基數相同。）
乙個有限的，或者無限但可數的，函式集合（可以為空）。
乙個有限的，或者無限但可數的，常數集合（可以為空）。
乙個非空的謂詞集合(predicate letter)。
定義2.1相比之前的命題演算語言的定義來說，主要增加了全稱量詞
∀ 。一旦引入全稱量詞，自然而然就要引入變數符號。接著命題演算語言的描述字母（statement letter，即b,
d 這些東東）在這裡變成了「謂詞」，即predicate letter。它不再是乙個單純的字母表示，而是用類似函式的方法表示，因為它是「謂詞」，用來斷言某些「名詞」。而這裡的名詞就是各種變數、常量通過函式符號轉化而成的某個量。
同樣，我們也要定義何為好式子（well formed formula）wf，這是形式邏輯研究的主要物件。在定義wf之前，我們先要定義一階語言的解釋。由於一階語言引入了全程量詞和變數，以及相應的函式符號，那麼這些變數和函式必須對應乙個「域」（domain）才有意義，或者說才能把一階邏輯討論下去，而這樣的「域」就是一階語言的某種解釋。
定義2.2：
l 是乙個一階邏輯語言，那麼它的解釋
m包含以下元素：
乙個非空集合
d ，稱為它的定義域(domain)
對於每個謂詞an
j，對應乙個
d 中的
n階關係
對於每個函式符號fn
j ，對應乙個
d 中的函式，即fn
j:dn
→d對於每個常數符號aj
，對應d 中的某個固定元素。
上述定義2、3、4中的符號下標
j表示第
j 個符號，上標
n表示其輸入有
n 個。比如, a2
3表示第三個謂詞符號，其輸入有兩個，即a2
3(t1
,t2)
。f32 表示第二個函式符號，其輸入有3個，即f3
2(x1
,x2,
x3) 。有時為了表示方便，在不產生歧義的情況下，上標
n 會省略，如a3
(t1,
t2)、
f2(x
1,x2
,x3)
。甚至，在個別情況下，下標
j 也會省略。
定義2.2初看之下有些雲裡霧裡，其實簡單點說，就是找乙個定義域
d，所有的常量、變數、函式符號都基於這個定義域來定義，而謂詞符號則基於這個定於域的關係。（注：關係即是乙個集合(d
1,d2
,...
,dn)
，其中每個di
都是d 中的元素。）
之所以要給定乙個定義域是因為，一階語言和之前的命題演算語言不一樣，很難直接對「謂詞」分配乙個「真值」，因為謂詞往往包括變數。比如，你很難對a(
x1)分配乙個「真值」，因為我們希望a(
x1) 能表達「對於x1
而言，某某某是怎樣的」。所以不同的x1
就有不同的對錯真假。
一階邏輯的「真假」是與「某個序列是否滿足某個謂詞」關聯的。通俗點說，即謂詞中的變數用某個定義域
d 中的元素取代後，通過判定該謂詞對應的關係是否被「滿足」，從而來判定該謂詞的真假。在定義「滿足性」與「真假性」之前，我們要定義何為「項」，何為好式子。
定義2.3：對於乙個一階邏輯語言l，乙個項（term）是指
乙個常數符號aj
,或者，乙個變數符號xi
，或者，乙個函式符號fn
j 以及對應的輸入符號，即fn
j(t1
,t2,
...,
tn) ，其中t1
,t2,
...,
tn都是項(term)。
只能用上述1，2，3中方法產生。
定義2.4：對於乙個一階邏輯語言l，乙個好式子(well formed fomula)，簡稱wf，是指
乙個謂詞an
j ，以及對應的輸入項，即an
j(t1
,t2,
...,
tn) ，也稱為原子wf。如果a
是wf，那麼¬a
也是wf。如果a
,b是wf，那麼a⇒
b 也是wf。如果a
是wf，那麼(∀
xi)a
，也是wf。
任何乙個wf，都只能由1，2，3，4的方法生成。
定義2.3和2.4的通俗理解即是：變數、常量、函式組成了項（term）。項作為謂詞的輸入，組成了原子wf。原子wf通過連線符號¬,
⇒ 組成了更多的wf。有了這些符號，一階邏輯語言能表述的範圍就變大了，大大覆蓋了我們人類日常的邏輯思維。
注意，定義2.4第4點中全稱量詞右方的變數符號xi
，可以不出現在好式子a中。它僅是一串符號，隨你怎麼寫變數符號都沒關係，它的邏輯意義由定義域
d 來解釋，「現實意義」則由人類解釋。
定義了這麼多東東，必須要給點例子，不然雲裡霧裡，沒法往下玩。
例子：
比如某個一階語言只有乙個函式符號f2
1，關聯的定義域
d 是自然數。函式f2
1定義為：f2
1(x1
,x2)
=x1+
x2，顯然，這是乙個從d2
到d的函式。接著，這個語言只有乙個謂詞符號a2
1，它基於定義域
d 的關係（即d2
的某個子集）如下：如果t1
=t2 ，那麼(t
1,t2
) 就在關係a2
1 中，否則就不在。也就是說，a2
1 定義了乙個「相等關係」。
那接下來我們看看何為好式子wf，我們把謂詞符號簡記為
a , 函式符號簡記為x1
+x2。比如a2
1(x1
,f21
(x1,
x2))
就可以簡記為a(
x1,x
1+x2
) 。 a(
x1,x
1+x2
) 就是乙個好式子，因為a是乙個謂詞符號，x1
是變數符號，所以也是乙個項。x1
+x2 實則是函式符號（的縮寫）,所以也是乙個項。(∀
x1)a
(x1,
x1+x
2)也是乙個好式子，它符合定義2.4中的第四點。同樣，(∀
x2)a
(x1,
x1+x
2)也是乙個好式子wf。再來，(∀
x3)a
(x1,
x1+x
2)也是好式子！儘管這個式子沒什麼意思，無聊透底，因為變數符號x3
和後面的謂詞符號一點關係也沒有，但它仍然符合定義2.4，所以它就是個好式子wf。後面，我們將會看到為什麼要如此定義，允許∀x
3 ，全稱量詞之後跟乙個和後續謂詞毫無關係的變數符號x3
。¬a(
x1,x
1+x2
) , a(
x1,x
3+x4
)⇒¬a
(x2,
x100+x
200)
這些當然都是好式子wf。謂詞裡面的項可以隨便換，項中的變數符號也可以隨便換，當然也可以換成常量符號，比如¬a
(x1,
aj) 。
在沒有定義域的時候，這些wf都是無意義的，僅是一串符號，關鍵是你還不能像命題演算系統那樣分配真假值給它們。當對應了定義域之後，就可以討論「真假」與「滿足性」（satisfiability）。
數理邏輯蘊含 數理邏輯（1） 命題邏輯的基本概念
學習階段 自由。前置知識 基本的邏輯思維。很多人連基本的邏輯關係都搞不清，在這個系列科普一下離散數學中的數理邏輯。1.命題 命題 proposition 就是非真即假的陳述句。命題的真假，稱為真值，真 記為t true 或1，假 記為f false 或0.因為真值只有兩種，這種邏輯也稱為二值邏輯。在...
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數理邏輯3 形式數論1
這節開始跳到第三章，其實第二章還有好多內容，但冗長沉悶，也不知道後面是否能用上。所以，先跳到第三章，若需要用到第二章剩餘的內容，再跳回去。自然數和幾何，應該是人類最古老的兩大數學分支。所以，任何試圖建立數學根基的系統，都避免不了要對自然數系統進行 基礎化 何為自然數？自然數的加減乘除的本質是什麼？這...