形式理論（formal theory）
上一節給出了一套命題演算系統的語言，接下來我們就基於這套語言，定義乙個「公理化的命題演算系統」,即「形式理論」。
我們感興趣的是假定一些wf已存在（公理），和一套推導規則，我們能推導出何種wf，或者說判定某些wf能否被證明。形式理論的目的就在於研究在不同公理和不同推導規則下，命題演算系統的性質究竟如何，比如是不是任意乙個wf都能被證明？是否
p 和¬p
能同時被證明？這裡「證明」的定義將在後面給出。
定義1.2（形式理論）：乙個形式理論包含以下要素
乙個命題演算系統的語言，即命題符號、括號符號、連線符號。
基於命題演算系統的好式子well formed formula，即wfs
公理（axiom），即指定的一系列wfs，可有無窮多個
推導規則（rule of inference），即一堆關係relation，(借用集合論的語言，注意，此時先不要糾結是否有「迴圈定義」之嫌，因為集合論的語言依賴於命題演算系統與形式邏輯）。具體來說，推導規則是指乙個序列r1
,r2,
...,
rm，其中每個ri
都是乙個推導規則，即乙個relation: (b
1,b2
,...
,bn)
，以表示如果b1
,b2,
...,
bn−1
存在，那麼pn
也存在。
集合論中的乙個關係relation即乙個集合，因此定義1.2中4的含義是b1
,b2,
...,
bn是否在「集合」ri
中，如果存在，我們就說bn
由b1,
b2,.
..,b
n−1 和推導規則ri
「推導得出」。
定義1.2表明了邏輯系統的「存在性」，即給定一些wf和推導規則，要「證明」乙個wf是否存在，簡單來說就是看wf能否存在與某個推導規則ri
中。下面給出「證明」的定義。
定義1.3 （證明）：乙個證明(proof)是指乙個wf的序列 b1
,b2,
...,
bn) ， 其中每個bi
要麼是公理，要麼由b1
,b2,
...,
bi−1
和某個推導規則推導得出。
所以乙個證明就是乙個wf的序列，僅此而已。有了證明，自然就有了「定理」。
定義1.4 （定理）： 乙個定理（theorem）是指某個證明中的最後乙個wf。
我們會經常見到「可判定性（不可判定性）」這個術語，它沒有明確的定義，但粗略來說，在乙個形式理論中，如果存在乙個「有效」的過程，可以證明每個wf是否為定理，那就是「可判定」的，因為它可以用機器實現自動定理證明。如果不存在，那就需要靠人類的天才來證明某些定理了。
由定義1.3和1.4可知，所謂定理，即是由公理和推導規則，經過乙個證明，得出的乙個wf。要是用「積木遊戲」的語言來描述的話，公理就是遊戲開始時給定的積木，推導規則就是建築規則，定理就是在此之下搭出來「新積木」。這些新積木又可以繼續作為原材料，無窮無盡地搭下去。
如果乙個形式理論僅靠定義1.3和1.4來玩，還是不夠好玩，因為公理的「範疇」有限，那麼搭出來的新積木在形式上也必定有限，就好像如果只給你「三角形積木」，推導規則是「三角形的邊互相重疊」，你是怎麼也搭不出圓形來的。
所以，乙個自然的問題就是問，如果我們額外引進一些積木，又能搭出怎樣的新積木呢？這些額外引進的積木就叫做「假設（hypothesis）」，它可以看作臨時加入的wf，只是為了某一次遊戲而引進，由公理、假設、推導退則搭出來的新wf，就叫作「假設而推導得出的結果」（consequence of hypothesis），我把它簡稱為「假設結果」。
定義1.5 （假設結果）：給定乙個wf的集合
γ （同樣的，不要糾結集合的正式定義，採用樸素的集合定義即可）作為假設，如果某個好式子b是某個序列b1
,b2,
...,
bk中的bk
，其中每個bi
要麼是公理，要麼屬於
γ ，要麼由b1
,b2,
...,
bi−1
推導得出，那麼
b 就稱為
γ的假設結果，記為γ⊢
b 。
有了定義1.5之後，我們就可以愉快地玩耍了。下面給出乙個形式理論，書中稱為」system l」，即系統l，其實它就是「希爾伯特演繹系統」。
定義1.6： 系統l包含以下要素
符號好式子
三套 公理，即a1. b⇒
(d⇒b
) ； a2. (b
⇒(c⇒
d))⇒
((b⇒
c)⇒(
b⇒d)
) ; a3. (¬
c⇒¬b
)⇒((
¬c⇒b
)⇒c)
推導規則modus ponendo，簡稱mp，即關係r為(b
,b⇒d
,d) 的形式。換句話說，由
b 、b⇒
d和mp，可以推導出
d 。
此時千萬要先忘記定義1.6中3，4點的現實意義，它們就是一堆符號，僅此而已。不過這堆符號恰好又能從我們現實的語言中找到乙個對應，賦予其意義，又剛好符合我們的理性常識。但此時此刻，它們就是符號，僅此而已。
系統l的公理之所以稱為「一套公理」，是指符合a1, a2, a3形式的都是公理，即遊戲開始時就已存在的積木。它們有無窮多個，所以才稱為「一套公理」，英文叫作」axiom scheme」。
對於系統l，它的連線符號其實只有兩個，即¬和
⇒ 。為了方便起見，也為了符合我們的理性常識，增加三個可選連線符號，即
∧ 、
∨ 、
⇔ ，它們是代用品，其中
∧ 、
∨ 的縮寫規則前面筆記已給出，
⇔ 的縮寫規則是b⇔
d 是(b
⇒d)∧
(d⇒b
) 的縮寫。
下一節我們看看系統l能玩出什麼花樣。
數理邏輯蘊含 數理邏輯（1） 命題邏輯的基本概念
學習階段 自由。前置知識 基本的邏輯思維。很多人連基本的邏輯關係都搞不清，在這個系列科普一下離散數學中的數理邏輯。1.命題 命題 proposition 就是非真即假的陳述句。命題的真假，稱為真值，真 記為t true 或1，假 記為f false 或0.因為真值只有兩種，這種邏輯也稱為二值邏輯。在...
數理邏輯蘊含 數理邏輯（1） 命題邏輯的基本概念
學習階段 自由。前置知識 基本的邏輯思維。很多人連基本的邏輯關係都搞不清，在這個系列科普一下離散數學中的數理邏輯。命題 proposition 就是非真即假的陳述句。命題的真假，稱為真值，真 記為t true 或1，假 記為f false 或0.因為真值只有兩種，這種邏輯也稱為二值邏輯。在真值不止2...
數理邏輯之 自然演算規則（三）
截止到前文數理邏輯之 自然演算規則 二 我們已經學習了四種7個命題邏輯的自然演算規則，分別是合取規則 雙重否定規則 蘊含消去規則 mt規則。接下來我們要學習的規則不僅從規模上看起來比前面的要大，理解和使用上也提公升了難度。第五種規則叫 蘊含引入規則 蘊含引入規則會基於前提進行合理的假設提出，並根據合...