我國高等數學教材不能誤導學生
４年前，我提出這個觀點，至今無人理睬。現在，重新發布此文，以饗讀者。
袁萌 １０月１６日
附：關於傳統微積分學的病態
2013-10-12
在傳統微積分學中，關於函式f的
(逐點定義
)導數（
derivatives
）是乙個最基本的概念。但是，它有時卻給傳統微積分學帶來了麻煩，使傳統微積分學出現反直觀的「病態」（
pathology
）。給定函式
f(x) = 0,
if x = 0;
f(x) = x + x2sin(
π/x)
if x ≠0
注：式中」
x2」代表
x的二次方。
容易證明，該函式f在
0點處的導數值
f'(0) = 1 > 0
，但是，該函式
f在包含
0點的任意領域內都不是「增函式」，函式圖形呈現出上下擺動狀態，直接違反了人的直觀預期。
我國現行普通高校「十一五」國家級規劃教材《高等數學》（同濟大學編寫）第三章第四節（函式單調性的判定，第
145頁）寫道：「
......
函式的單調性與導數的符號有著密切的聯絡」，嚴重誤導了
90後在校大學生。
針對逐點定義導數的這種「病態」，
k.d.stroyan
教授建議採用所謂」一致性導數「（
uniformderivatives
）。實際上，引入「一致性導數」的最佳途徑是回歸無窮小微積分學。
在無窮小微積分學裡面，如果函式
f滿足條件：（*
）f(x + ∆x)- f(x) = f'(x)∆x + ε ∆x ∀x
∈(a，b)
其中∆x
與ε都是所謂的「無窮小」，則稱函式
f'是函式
f在開區間（a，
b）中的「一致性導數」。
我們注意一件很有意思的事情：在以上（
*)式中，如果在
∆x的尺度上來看該函式的微觀區域性圖形（表現），由於「ε
∆」這一尾項是相對於
∆x的更為微小的」數量「（
teeny tinyquantity
），因而，用肉眼是應該看不見的。這就是說，上述（
*）式變成了
f(x + ∆x) - f(x)= f'(x)∆x
，這正好是一條無窮小的直線段，印證了「
curves consist ofinfinitesimal straight segments」
這句古話，意思是，曲線是由無窮小的直線段所組成。嚴格地講，傳統微積分學關於曲線與其切線的示意圖都是脫離實際的，完全是杜撰出來的。
當前，在科技發達國家，無窮小又回歸微積分學。這是不奇怪的事情，因為，基於現代數學嚴格意義上的無窮小（量）只是一種無限接近於零的超實數而已，不是什麼」玄學「的研究物件。
（全文完）
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