證明卡特蘭數（折線法）

卡特蘭數能夠解決的問題類似出棧順序問題，對於乙個有兩種操作1,2 且1,2操作分別有n次的序列必須嚴格保證操作1的次數在任意前k(k∈z)個操作中始終不小於操作2的次數，這種操作的方案數就是卡特蘭數c(2n,n)/(n+1)。

我們可以用折線的方式去證明卡特蘭數

在笛卡爾座標系中，令x軸表示當前第幾次操作，y軸表示當前情況下操作1比操作2多幾次。那麼折線在x軸上方則為合法方案。

而對於所有不合法的方案，一定存在某個正整數k，使得在前k個操作中操作2比操作1多1次，那麼我們讓從k+1~2n的所有操作1變成操作2，操作2變成操作1，那麼很容易就可以看出最後操作1比操作2少了2次，這也就是說，不合法的方案數就等價於在2n個操作中取n-1個操作1的方案數。

在座標系中也可以進行這樣的改變，不合法方案一定交於直線y=-1，讓折線關於y=-1對稱，那麼終點一定從(2n,0)變成了(2n,-2)。也可以很容易證明對稱總是可進行而且是可逆的。這樣操作1也比操作2少了兩次，方案數c(2n,n-1)。

所以合法方案數為c(2n,n)-c(2n,n-1)=c(2n,n)/(n+1)

例：【dbsdfzoj 1146】遞推排隊買票

description

有2n個人排成一行進入劇場。入場費5元。其中只有n個人有一張5元鈔票，另外n人只有10元鈔票，劇院一開始無其它鈔票，問有多少種排隊方法使得只要有10元的人買票，售票處就有5元的鈔票找零？

input

第一行輸入n(1<=n<=30)。

output

輸出乙個數表示排列的方法總數。

sample input

sample output

解題思路

對於任意正整數k<=2n，前k個人中有5元鈔票的人數一定不少於有10元鈔票的人數。假設人沒有編號，答案為卡特蘭數c(2n,n)/(n+1)；當人存在編號時，對於當前某個方案，須分別計算有5元鈔票的人和有10元鈔票的人的全排列數，所以將答案乘(n!)^2，結果為(2n)!/(n+1)。

#include
int main()

證明 卡特蘭數（折線法）