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級數是研究函式的重要工具，級數是產生新函式的重要方法，同時又是對已知函式表示、逼近的有效方法，在近似計算中發揮著重要作用。我們在建立定積分概念的同時，引入變上限積分定義出了一類新函式，使我們認識到除了初等函式之外的函式類；有了級數理論後，使我們的眼界進一步開闊了，認識到了更廣泛的非初等函式型別。
級數理論的功能並不僅僅在於引進非初等函式，更重要的是給出了研究這些函式的有效方法，而且即使是初等函式，給出了它們的級數形式，有時會更便於研究它們的性質。我們知道，泰勞公式是用有限項的多項式近似表示函式，它對於研究函式的區域性逼近和整體逼近有著重要意義，在此基礎上和一定的條件下，我們可以用無窮多項的多項式來準確地表示乙個函式，這就是冪級數。利用函式的冪級數展開式，對研究函式的性質和計算都有著非常重要的作用。 當然，能表示成冪級數的函式必須具備任意階可微的條件，這對於有些性質較差的函式（如分段函式），我們就不能展開成冪級數，此時付立葉級數卻能滿足這樣的函式的展開。
級數理論的基礎仍然是極限，級數是乙個無限求和的過程，它與有限求和有著根本的不同，即參與了極限運算，把極限及其運算性質移植到級數中去，就形成了級數的一些獨特性質。級數理論的第乙個重要概念是收斂性。此外，級數的運算、函式項級數的一致收斂性、一致收斂級數的分析性質、函式的冪級數展開、函式的付立葉級數展開都是級數理論的基本內容。
數列逐項累加起來的式子稱為級數。或者說，數列逐項累加的極限形式稱為級數。若定義級數的前n項部分和為sn，則逐項累加的極限s如果存在，則稱級數收斂，否則稱為發散。數項級數的斂散性是用部分和數列的斂散性來定義的。所以數列極限的理論移植過來，就可以建立數項級數的一般理論。由於級數是在有限項相加的基礎上施行的極限運算，從而確切地定義了無限項相加，形成了這種特殊的形式，所以它有著比數列極限更獨特的性質和意義。
如果我們把有限個函式相加稱為有限和，那麼函式項級數就可稱為無限和，在有限和的情形下，連續函式的和函式仍然連續，但在無限和的情形下，連續函式的和函式卻不一定連續。類似的，在有限和的情形下，逐項積分與逐項微分是成立的，但在無限和的情形下，卻不一定成立。為保證以上運算，在無限和的情形下成立，僅有收斂是不夠的，因此引進了函式項級數的一致收斂性的理論。函式項級數在一致收斂的條件下，可實現函式項級數和函式的連續、逐項積分與逐項微分。
最早的三角級數展開是由於解偏微分方程的需要，在18世紀由法國的工程師兼學者fourier在其名著 熱的解析理論 中予以詳細討論的。實際上，三角級數展開不僅在實用中有重大意義，而且對於現代數學的發展，都深具影響。
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