資料結構之最短路徑（Floyd）

/* floyd演算法，求網圖g中各頂點v到其餘頂點w的最短路徑p[v][w]及帶權長度d[v][w]。 */
void shortestpath_floyd(mgraph g, patharc *p, shortpathtable *d)}}
}}

下面介紹下詳細的執行過程：

（1）程式開始執行，第4-11行就是初始化了d和p，使得它們成為上圖的兩個矩陣。從矩陣也得到，v0->v1路徑權值為1，v0->v2路徑權值為5，v0->v3無邊連線，所以路徑權值為極大值65535。

（2）第12~25行，是演算法的主迴圈，一共三層巢狀，k代表的就是中轉頂點的下標。v代表起始頂點，w代表結束頂點。

（3）當k = 0時，也就是所有的頂點都經過v0中轉，計算是否有最短路徑的變化。可惜結果是，沒有任何變化，如下圖所示。

（4）當k = 1時，也就是所有的頂點都經過v1中轉。此時，當v = 0 時，原本d[0][2] = 5，現在由於d[0][1] + d[1][2] = 4。因此由**的的第20行，二者取其最小值，得到d[0][2] = 4，同理可得d[0][3] = 8、d[0][4] = 6，當v = 2、3、4時，也修改了一些資料，請看下圖左圖中虛線框資料。由於這些最小權值的修正，所以在路徑矩陣p上，也要做處理，將它們都改為當前的p[v][k]值，見**第21行。

（5）接下來就是k = 2，一直到8結束，表示針對每個頂點做中轉得到的計算結果，當然，我們也要清楚，d0是以d-1為基礎，d1是以d0為基礎，......，d8是以d7為基礎的。最終，當k = 8時，兩個矩陣資料如下圖所示。

至此，我們的最短路徑就算是完成了。可以看到矩陣第v0行的數值與迪傑斯特拉演算法求得的d陣列的數值是完全相同。而且這裡是所有頂點到所有頂點的最短路徑權值和都可以計算出。

那麼如何由p這個路徑陣列得出具體的最短路徑呢？以v0到v8為例，從上圖的右圖第v8列，p[0][8]= 1，得到要經過頂點v1，然後將1取代0，得到p[1][8] = 2，說明要經過v2，然後2取代1得到p[2][8] = 4，說明要經過v4，然後4取代2，得到p[4][8]= 3，說明要經過3，........，這樣很容易就推倒出最終的最短路徑值為v0->v1->v2->v4->v3->v6->v7->v8。

求最短路徑的顯示**可以這樣寫：

for(v=0; v%d",k);    /* 列印路徑頂點 */
k=p[k][w];            /* 獲得下乙個路徑頂點下標 */
}printf(" -> %d\n",w);    /* 列印終點 */
}printf("\n");
}

總體的**如下：

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "io.h"
#include "math.h"
#include "time.h"
#define ok 1
#define error 0
#define true 1
#define false 0
#define maxedge 20
#define maxvex 20
#define infinity 65535
typedef int status;    /* status是函式的型別,其值是函式結果狀態**，如ok等 */
typedef struct
mgraph;
typedef int patharc[maxvex][maxvex];
typedef int shortpathtable[maxvex][maxvex];
/* 構件圖 */
void createmgraph(mgraph *g)
for (i = 0; i < g->numvertexes; i++)/* 初始化圖 */
}g->arc[0][1]=1;
g->arc[0][2]=5;
g->arc[1][2]=3;
g->arc[1][3]=7;
g->arc[1][4]=5;
g->arc[2][4]=1;
g->arc[2][5]=7;
g->arc[3][4]=2;
g->arc[3][6]=3;
g->arc[4][5]=3;
g->arc[4][6]=6;
g->arc[4][7]=9;
g->arc[5][7]=5;
g->arc[6][7]=2;
g->arc[6][8]=7;
g->arc[7][8]=4;
for(i = 0; i < g->numvertexes; i++)}}

/* floyd演算法，求網圖g中各頂點v到其餘頂點w的最短路徑p[v][w]及帶權長度d[v][w]。 */
void shortestpath_floyd(mgraph g, patharc *p, shortpathtable *d)}}
}}int main(void)
printf(" -> %d\n",w);    /* 列印終點 */
}printf("\n");
}printf("最短路徑d\n");
for(v=0; v
printf("\n");
}printf("最短路徑p\n");
for(v=0; v
printf("\n");
}return 0;
}

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