線性規劃 單純形演算法

作者 dylanfrank(滔滔)

這裡簡要總結一下線性規劃的單純形演算法，做如下幾個方面的總結，其餘以後再來填坑.

先看這樣乙個問題

我們很容易用下面的數學語言來描述這個問題ma

xzs.

t6x1

+4x2

x1+2

x2−x

1+x2

x2xi

=5x1

+4x2

≤24≤6

≤1≤2

≥0如果我們用幾何來描述這個問題的話則是這樣的

其中陰影部分表示可行域(feasible region)

黑色加粗的線條表示邊界

兩個邊界的交點稱為角點(corner-point cp)

在可行域上的角點稱謂角點可行解(cpf)

共享一邊的角點稱為角點鄰接角點(adj cpf)

我們在這裡不加證明的指出(以後有空再填坑),線性規劃的最優解一定在cpf,並且有優性測試 (optimal test),若某乙個cpf的相鄰角點的（目標函式）值都不比這個cpf優，則這個cpf就是最優解.

由此我們不難得到乙個簡單的演算法:

從乙個初始cpf開始，沿著比它更優的

adj cpf 前行，若找到乙個 cpf 這個cpf的所有 adj cpf不比 它優，則這就是最優解.比如上例中會在c點找到最優解

線性規劃的標準代數表達，(本文採用《introduction to operation research》清華大學影印版) 的表示.ma

xzs.

t∑i=

1naj

ixix

i=∑i

=1nc

ixi≤

bj(j

=1,2

,…,m

)≥0,

i=1,

2,3,

…,n

我們後面會發現其他的形式都可以很容易表示為標準形式.

我們看到，由上面幾何版的******x 演算法，我們首先需要乙個初始解，為了方便找到初始解，同時也為了能讓計算機好進行運算，需要把不等式轉化為等式，這裡我們引入鬆弛變數(slack variable),對每個函式約束我們都引入乙個鬆弛變數(slack variable) xn

+j，x

n+j≥

0 比如上面的例子

6x

1+4x

2≤24

, 滿足 x3

≥0

6x

1+4x

2+x3

=24

≥0移到一邊)

引入sv 的形式成為增廣形式，(argument form),第乙個例子的增廣形式為ma

xzs.

t6x1

+4x2

+x3x

1+2x

2+x4

−x1+

x2+x

5x2+

x6xi

=5x1

+4x2

=24=6

=1=2

≥0這種形式的解稱為增廣解，需要說明的是這兩種解是一致的，增廣解的增廣變數恰好是用原式表示的,如最優解中一定有:

x3

=24−(

6x1+

4x2)

#basic var （基本變數的數目）=函式限制的數目。

# non-basic var = #var - #basic var = 線性規劃系統的自由度

non-basic var =0

如果 基本變數滿足非負限制，則基解稱為基本可行解(basic feasible solution bf),我們後面需要關注的就是這個基本可行解bf，這對應的是原始形式中的cpf的擴充。(非鬆弛變數為0是初始解)

下面介紹單純形演算法:

初始化，解除限制，引入鬆弛變數，將目標函式寫成(z

−(su

mni=

1cix

i)=0

) 記作第0行

最優性測試，選出第0行中係數最小的變數（負的最多），判斷係數是否小於0,若是結束輸出最優解，否則進入迭代,稱選中變數為進基變數(變數不為0，成為基本變數)

進入迭代,進基變數對應的列稱為軸列,pivot col,進行最優比率測試，判斷，進基變數能最大增加多少. 對於軸列中係數大於0的列，用等式右邊值除以係數得到每個等式的比率.,最小的乙個作為瓶頸行，稱為軸行(pivot row)

用軸行進行高斯肖元，回到第二步.

第一次迭代，x1

的係數最小，且為負，選為pivot col，對其進行最小比率測試，第一行最小，選做pivot row，用它進行高斯肖元，得到第二次迭代的**. x3

成為非基變數…依次下去得到第3次迭代結果.

需要注意的是第一列標明的變數對應的值為右邊的解值.第一行變數中為正的變數取0.

處理等式限制 ∑a

i∗xi

=b，有兩種方法，一種是大m 方法，引入人工變數，一種是將其表示為如下形式∑a

i∗xi

∑ai∗

xi≤b

≥b大m方法下面再介紹∑a

i∗xi

≤−b,

b>

0 ,乘乙個負號變為 ∑−

ai∗x

i≥b

如0.6x1

+0.4x2

≥6, 引入 x3

>

0 ,轉化為等式

0.6x1+

0.4x2−

x3=6

,這是等價的

目標函式乘-1即如x

i≥−l

,令x′

i=xi

−l 即

xi∈(

−inf

,inf

) , 令x

i=x+

i−x−

i,x+

i,x−

i>

0 ,需要注意的是若有很多變數均是無界限制，可以只取乙個變數代替x−

i ，而不必對每個無界變數都引入兩個變數.

未完待續…..

線性規劃 單純形演算法例項

例 解最優化問題 min x1 x2 2x1 x2 12 x1 2x2 9 xi 0 i 1,2,3,4 改寫成標準形式，引入鬆弛變數 2x1 x2 x3 12 x1 2x2 x4 9 xi 0,i 1,2,3,4 列出單純形表 x1x2 x3x4bx3 2110 12x412 019c 1100 ...

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