單純形法(******x method)
單純形法的思路總結
其它情況
參考文獻
目標函式是線性的，約束條件是線性等式或不等式，每個變數都取實數值.
minimize ct
xsubject to ax
=bx≥
0\begin \text & c^} x \\ \text & a x=b \\ & x \geq 0 \end
minimize
subject to c
txax
=bx≥
0其中b ∈r
m,a∈
rm×n
,c∈r
n,x∈
rnb \in \mathbb^, a \in \mathbb^, c \in \mathbb^, x \in \mathbb^
b∈rm,a
∈rm×
n,c∈
rn,x
∈rn.
線性標準型的一般形式化為標準型的方法：新增鬆弛變數；有自由變數的時候，使用消元或者變數替換的形式.
標準型是為了便於理論分析和演算法設計，任何滿足線性規劃要求的均可轉換成標準型，如極小化絕對值的和、極小化逐段線性凸函式等特殊線性形式.
高中數學教材已經介紹過簡單線性規劃的解法了：**法。但是在變數大於二維時，**法就很不直觀。
單純形法利用了線性規劃的基本定理，即只要窮舉多個基本可行解，就一定能找到最優解。它是一種搜尋機制，即從乙個初始可行解出發，不斷迭代到相鄰的可行解，同時讓目標函式下降。
迭代求解，不斷下降目標值。在幾何上可以看成從乙個頂點開始，沿著多面體的邊行走到下乙個使目標函式下降的另乙個頂點。
標準形式
minimize ct
xsubject to ax
=bx≥
0\begin \text & c^} x \\ \text & a x=b \\ & x \geq 0 \end
minimize
subject to c
txax
=bx≥
0用非基變數代替基變數，可以將原始問題約化到
二者是等價問題，其中r被稱作費用係數.
該等價問題被化為，以非基變數作為目標函式，約束為基變數的不等式組及非零約束。原來的ax=
bax=b
ax=b
已經隱含到目標函式中了.
由約化問題可以看出，只要費用係數r均大於0，可以輕易看出最優解就是非基變數全取0的形式.
若費用係數r有小於0的，那說明對應的非基變數可以不斷上公升使目標函式下降。但是因為約束的存在，非基變數又不能無限地增加。所以我們可以貪婪地使x增加到約束的邊界xq⩽
min
x_ \leqslant \min \left\}}: y_>0, i=1,2, \cdots, m\right\}
xq⩽
min，到達邊界後，肯定會有非零的基變數會變成0（因為非基變數和基變數有個表示式關係），這時候就會發生進基和出基的操作，ypq
y_yp
q就是轉軸元.
如果採用最小費用係數進基的情況，可能會產生迴圈的情況，意味著迭代若干步後又回到了最初的解。這時解決方案可以有攝動法、bland法則. 一般程式中會專門寫對付迴圈機制的**.
對於a x⩽
b,x⩾
0a x \leqslant b, x \geqslant 0
ax⩽b,x
⩾0且其中b⩾0
b \geqslant 0
b⩾0的情況，可以直接構造可行解。但是一般情況，難以看出可行解，這時使用兩階段法.
先構造ax=
b,x⩾
0a x=b, \quad x \geqslant 0
ax=b,x
⩾0讓b ⩾0
b \geqslant 0
b⩾0，然後考慮輔助問題：
y是人工變數. x=0
,y=b
x=0, y=b
x=0,y=
b自動構成基本可行解。第一階段同樣使用單純形法構造出基本可行解，轉軸時不用考慮費用係數，且當基變數的係數均為0時可以去除冗餘方程。
尋優過程中僅一小部分列發生轉軸，沒有顯式用到的列很多，對這些列的計算有些浪費. 當m比n小得多時，修正單純形法可以節省開銷。
修正單純形表如下：
執行以ypq
y_yp
q為主軸的轉軸運算，即可得與新基對應的資料。
由klee-minty定理，單純形法的時間複雜度是指數級的.
數學規劃基礎——劉紅英
線性規劃 單純形法
線性規劃是求乙個線性多項式的最值。線性規劃有兩種形式 1.標準型 不等式型 2.鬆弛型 除了非負約束，其他都是等式變數名稱 在res x y z中。1.基本變數，基本變數是res。2.非基本變數，如x,y,z。單純形法 適用於鬆弛型。單純形法是不斷通過迭代來增大最大值。達到無法更新時，就是最大值。這...
單純形法（求解線性規劃）模板
原理 我也懶得去了解了，反正不怎麼用到 學習 推薦看部落格 使用形態 下面模板的輸入 max x1 14 x2 6 x3 s t x1 x2 x3 4 x1 2 x3 3 3 x2 x3 6 x1,x2,x3 0 我們可以得到其鬆弛形式 max x1 14 x2 6 x3 s.t.x1 x2 x3 ...
單純形法與線性規劃 學習筆記
很早以前學過理論，3個月前又學了一遍寫了一點筆記，現在覺得以 已 前 經 寫 完 的 全 太 忘 醜 記 於是重寫一遍 1.演算法導論 2.2016國家集訓隊 maximize quad sum limits c jx j satisfy quad constraint sum limits a x...