SG定理與SG函式模板

必勝點和必敗點：

p點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。

n點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。

必勝點和必敗點的性質：

1、所有終結點是必敗點 p 。（我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設）

2、從任何必勝點n 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 p。

3、無論如何操作，必敗點p 都只能進入必勝點 n。

sprague-grundy定理（sg定理）：

遊戲和的sg函式等於各個子遊戲sg函式的nim和。這樣就可以將每乙個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而bouton定理就是sprague-grundy定理在nim遊戲中的直接應用，因為單堆的nim遊戲 sg函式滿足 sg(x) = x。

對於乙個nim遊戲的局面(a1,a2,...,an)，它是p-position當且僅當a1^a2^...^an=0，其中^表示位異或(xor)運算

sg函式：

首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於乙個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex=3、mex=0、mex{}=0。

對於任意狀態 x ，定義 sg(x) = mex(s),其中 s 是 x 後繼狀態的sg函式值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 sg(a),sg(b),sg(c)，那麼sg(x) = mex。這樣集合s 的終態必然是空集，所以sg函式的終態為 sg(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點p時。

sg函式求解模板

//f[n]:可改變當前狀態的方式，n為方式的種類，f[n]要在getsg之前先預處理
//sg:0~n的sg函式值
//s:為x後繼狀態的集合
int f[n],sg[maxn],s[maxn];
void  getsg(int n)
}}

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