大神鏈
我們先用乙個簡單的例子引入：
考慮有這樣乙個遊戲，有3堆火柴，分別有a，b，c根，記為（a，b，c）
每次乙個遊戲者可以從任意一堆中拿走至少一根火柴，也可以整堆拿走，但是不能從多堆火柴中拿
無法拿火柴的人輸
這個遊戲就叫做nim遊戲
舉個例子，假設a=1，b=2，c=3，若你先拿，你會怎麼辦呢？
方案一：（1,2,3）—->（0,2,3），然而只要對手把狀態變成（0,2,2），你就輸定了（因為對手可以模仿你的操作）
方案二：（1,2,3）—->（1,0,3）或者（1,2,3）—->（1,2,0），這樣的狀態和方案一是一樣的
方案三：（1,2,3）—->（1,2,2）或者（1,2,3）—->（1,2,1）或者（1,2,3）—->（1,2,0），這樣的狀態下，你還是會輸
至此，我們討論了所有6種可能的拿法，都是你輸
所以我們說（1,2,3）是乙個先手必敗狀態，簡稱必敗狀態
而（1,2,3）的所有後繼狀態都是先手必勝狀態
這裡我們提出兩個規則：
規則一下面我們介紹一些經典遊戲：ch乙個狀態是必敗態當且僅當ta的所有後繼都是必勝狀態
規則二
乙個狀態是必勝態當且僅當ta至少有乙個後繼是必敗狀態
omp！
遊戲有乙個m∗n
的棋盤，每次可以取走乙個方格並拿掉ta右邊和上面的所有方格
拿到左下角的格仔（1,1）者輸
分析：本題的結論有一點偏激：除了（1,1）是先手必敗之外，其他情況都是先手必勝
我們可以用反證法：如果後手有必勝狀態，使得無論先手取哪個格仔，後手都可以獲得勝利
那麼現在假設先手取得最右上角的石子（m，n），接下來通過某種取法使得自己搶先進入必勝狀態
但實際上，先手第一次就可以取得和後手一樣的狀態，搶先進入必勝狀態
約數遊戲
有1到n個數字，兩個人輪流選擇乙個數，並且把ta和ta的所有約數刪去
擦去最後乙個數的人贏
分析：這道題和ch
omp！
遊戲有異曲同工之妙
假如先手第一次取了1，接下來後手通過某種取法使得自己搶先進入必勝狀態
實際上，先手第一次就可以取得和後手一樣的狀態，搶先進入必勝狀態
現在我們回到一開始的ni
m 遊戲 l.
bout
on在1902
年提出了這樣乙個定理： 狀態（
x1,x
2,x3
） 是必敗態，當且僅當x1
xorx
2xor
x3=0
，這個異或和就叫做遊戲的ni
m 和
我們要想辦法這條定理擴充套件到所有的博弈問題上
下面我們就介紹乙個很好的工具：sg函式和sg定理
首先定義mex(minimal excludant)運算
這是施加於乙個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數
例如mex=3，mex=0，mex{}=0
對於任意狀態
x ， 定義 sg
(x)=
mex(
s)，其中s
是x後繼狀態的sg函式值的集合 如x
有三個後繼狀態分別為sg
(a),
sg(b
),sg
(c)，那麼sg
(x)=
mex(
sg(a
),sg
(b),
sg(c
)) s
g 函式的終態為sg
(x)=
0 ，當且僅當
x 為必敗點時
遊戲和的sg
函式等於各個遊戲sg
函式的ni
m 和
這樣就可以將每乙個子遊戲分而治之，從而簡化了問題 而b
outo
n 定理就是sp
ragu
e−gr
undy
定理在ni
m 遊戲中的直接應用，因為單堆的ni
m 遊戲sg
函式滿足 sg
(x)=
x 我們可以通過乙個例題來理解一下：
翻棋子遊戲
乙個棋盤上每個格仔有乙個棋子，每次操作可以隨便選擇乙個朝上的棋子（x
，y） ，
選擇乙個形如（x
，b） 或（a
，y） （其中
ba<
x ），把兩個棋子一起翻過來，無法操作的人輸
分析：把座標為（x，y）的棋子看做大小分別為
x 和
y的兩堆火柴，則本題轉化為了經典的ni
m 遊戲
除法遊戲乙個n
∗m的矩陣，每個元素均為2~10000之間的正整數
兩個遊戲者輪流操作，每次可以選一行中的1個或多個大於1的整數，把ta們中的每個數都變成ta的某個真因子
比如12可以變成1，2，3，4，6中的乙個
不能操作的輸（換句話說，如果在誰操作之前，在矩陣中的所有數都是1，則ta輸）
分析：考慮把每個數素因數分解
比如說12=2
∗3∗3
，那麼「變成他的素因數」就等價於拿掉ta的乙個或多個素因子
如果我們把每個數的乙個素因子看成一塊石子，每個數看成一堆石子
則本題和ni
m 遊戲就完全等價了
取石子問題
有1堆n個的石子，每次只能取個石子，先取完石子者勝利，那麼各個數的sg值為多少？
sg[0]=0，f=,
x=1 時，可以取走1 - f個石子，剩餘個，所以 sg[1] = mex= mex = 1
x=2 時，可以取走2 - f個石子，剩餘個，所以 sg[2] = mex= mex = 0
x=3 時，可以取走3 - f個石子，剩餘個，所以 sg[3] = mex = mex =1
x=4 時，可以取走4- f個石子，剩餘個，所以 sg[4] = mex = mex = 2
x=5 時，可以取走5 - f個石子，剩餘個，所以sg[5] = mex =mex = 3
以此類推…..
x 012
3456
78....sg[x] 010
1232
01....
int f[n],sg[n],s[n];
//f[n]:當前狀態的改變方式，n為方式的種類，f[n]要在getsg之前先預處理
//sg:0~n的sg函式值
//s:為x後繼狀態的集合
void getsg(int n)
}}
sg函式和sg定理
下面這篇解釋得很清楚。單個遊戲 sg 0 0 sg值為0的有且只有必敗態 sg x mex sg y x的所有後繼狀態中 第乙個不能達到的sg值，則x可到達sg為0 sg x 1的狀態 組合遊戲 可將sg值看作為石子數，則轉化為nim取石子遊戲，總遊戲的勝負由sg的異或和決定。hdu1848 1 i...
博弈 SG函式和SG定理
在介紹sg函式和sg定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點吧.必勝點和必敗點的概念 p點 必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。n點 必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。必勝點和必敗點的性質 1 所有終結點是 必敗點 p 我們以此為基本前提進行推理，換句話說，...
SG函式和SG定理 詳解
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