sg函式是用來解決acm競賽中公平組合遊戲問題的利器
在介紹sg函式和sg定理之前我們先介紹介紹必勝點與必敗點.
必勝點和必敗點的概念：
p點：必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。
n點：必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。
必勝點和必敗點的性質：
1、所有終結點是 必敗點 p 。(我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設)
2、從任何必勝點n 操作，至少有一種方式可以進入必敗點 p。
3、無論如何操作，必敗點p 都只能進入 必勝點 n。
我們研究必勝點和必敗點的目的時間為題進行簡化，有助於我們的分析。通常我們分析必勝點和必敗點都是以終結點進行逆序分析。我們以hdu 1847 good luck in cet-4 everybody!為例：
當 n = 0 時，顯然為必敗點，因為此時你已經無法進行操作了
當 n = 1 時，因為你一次就可以拿完所有牌，故此時為必勝點
當 n = 2 時，也是一次就可以拿完，故此時為必勝點
當 n = 3 時，要麼就是剩一張要麼剩兩張，無論怎麼取對方都將面對必勝點，故這一點為必敗點。
以此類推，最後你就可以得到；
n ： 0 1 2 3 4 5 6 ...
position： p n n p n n p ...
組合遊戲的和通常是很複雜的，但是有一種新工具，可以使組合問題變得簡單————sg函式和sg定理。
sprague-grundy定理(sg定理)：
遊戲和的sg函式等於各個遊戲sg函式的nim和。這樣就可以將每乙個子遊戲分而治之，從而簡化了問題。而bouton定理就是sprague-grundy定理在nim遊戲中的直接應用，因為單堆的nim遊戲 sg函式滿足 sg(x) = x。
sg函式：
首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於乙個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex=3、mex=0、mex{}=0。
對於任意狀態 x ， 定義 sg(x) = mex(s),其中 s 是 x 後繼狀態的sg函式值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 sg(a),sg(b),sg(c)，那麼sg(x) = mex。這樣 集合s 的終態必然是空集，所以sg函式的終態為 sg(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點p時。
【例項1】取石子問題
有1堆n個的石子，每次只能取個石子，先取完石子者勝利，那麼各個數的sg值為多少？
sg[0]=0，f=,
x=1 時，可以取走1 - f個石子，剩餘個，所以 sg[1] = mex= mex = 1;
x=2 時，可以取走2 - f個石子，剩餘個，所以 sg[2] = mex= mex = 0;
x=3 時，可以取走3 - f個石子，剩餘個，所以 sg[3] = mex = mex =1;
x=4 時，可以取走4- f個石子，剩餘個，所以 sg[4] = mex = mex = 2;
x=5 時，可以取走5 - f個石子，剩餘個，所以sg[5] = mex =mex = 3;
以此類推.....
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8....
sg[x] 0 1 0 1 2 3 2 0 1....
由上述例項我們就可以得到sg函式值求解步驟，那麼計算1~n的sg函式值步驟如下：
1、使用 陣列f 將 可改變當前狀態 的方式記錄下來。
2、然後我們使用 另乙個陣列 將當前狀態x 的後繼狀態標記。
3、最後模擬mex運算，也就是我們在標記值中 搜尋 未被標記值 的最小值，將其賦值給sg(x)。
4、我們不斷的重複 2 - 3 的步驟，就完成了 計算1~n 的函式值。
**實現如下：
//f[n]:可改變當前狀態的方式，n為方式的種類，f[n]要在getsg之前先預處理//sg:0~n的sg函式值//s:為x後繼狀態的集合int f[n],sg[maxn],s[maxn];void getsg(int n) }}考慮使用sg函分析，證明過程如下
附**
#includeusing namespace std;#define fi first#define se second#define pb push_back#define mp make_pair#define lowbit(x) x&(-x)typedef long long ll;typedef pairpii;typedef pair pll;const int n = 1e5+5;const ll mod = 1e9+7;const int inf = 0x3f3f3f3f;const double eps =1e-9;const double pi=acos(-1.0);const int dir[4][2]=;const int exdir[4][2]=;ll qpow(ll x,ll y) return ans%mod;}int vis[n];vectorv;void solve() if(x>1)k++; ans^=k+f; } if(ans)cout<>t; while(t--)solve(),cout<SG定理與SG函式 模板
必勝點和必敗點 p點 必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。n點 必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。必勝點和必敗點的性質 1 所有終結點是 必敗點 p 我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設 2 從任何必勝點n 操作，至少有一種方式可以進入必...
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必勝點和必敗點的概念 p點 必敗點，換而言之，就是誰處於此位置，則在雙方操作正確的情況下必敗。n點 必勝點，處於此情況下，雙方操作均正確的情況下必勝。必勝點和必敗點的性質 1 所有終結點是 必敗點 p 我們以此為基本前提進行推理，換句話說，我們以此為假設 2 從任何必勝點n 操作，至少有一種方式可以...
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