離散余弦變換 原理及應用

二維傅利葉變換可用通用的關係式來表示：

式中：x, u=0, 1, 2,  …,  m－1；y,  v=0,  1,  2,  …,  n－1；g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分別稱為正向變換核和反向變換核。 

如果滿足 :

則稱正、反變換核是可分離的。進一步，如果g1和g2，h1和h2在函式形式上一樣，則稱該變換核是對稱的。

數字影象都是實數矩陣， 設f(x,  y)為m×n的影象灰度矩陣， 通常為了分析、推導方便，可將可分離變換寫成矩陣的形式：   

其中，f、f是二維m×n的矩陣；p是m×m矩陣；q是n×n矩陣。 

式中，u=0,  1,  2,  …,  m－1，v=0,  1,  2,  …,  n－1。

對二維離散傅利葉變換，則有 :

實踐中，除了dft變換之外，還採用許多其他的可分離的正交變換。例如：離散余弦變換、沃爾什-哈達瑪變換、k-l變換等。 

離散余弦變換（discrete cosine transform，dct）是可分離的變換，其變換核為余弦函式。dct除了具有一般的正交變換性質外， 它的變換陣的基向量能很好地描述人類語音頻號和影象訊號的相關特徵。因此，在對語音頻號、影象訊號的變換中，dct變換被認為是一種準最佳變換。

一維dct定義如下： 設為離散的訊號列

看看，這裡我們就用到了特定核函式的可分離性！

二維dct正變換核為：

式中，x, u=0,  1,  2,  …, m－1； y,  v=0,  1,  2,  …,  n－1。

二維dct定義如下：

設f(x,  y)為m×n的數字影象矩陣，則 

式中： x,  u=0,  1,  2,  …,  m－1； y,  v=0,  1,  2,  …,  n－1。

通常根據可分離性， 二維dct可用兩次一維dct來完成， 其演算法流程與dft類似， 即 

conclusion：

對於比較平滑的影象/資料，dft變換資料集中在中間（低頻訊號區），dct變換資料集中在左上角，幾乎無法看出dct的優勢在**。

conclusion：

dct變化後的資料很發散，dct變化後的資料仍然比較集中。如果同樣從頻率譜恢復原始影象，那麼選用dct更合理，因為dct只需要儲存更少的資料點。正是這個原因，是的dct廣泛地應用於影象壓縮。

16*16 進行分割槽做dct變換，然後按照不同的模板進行資料存留與重建。我們會發現，如果儲存的資料過少，會有塊效應現象發生。

64*64的分割槽設定，塊效應更明顯。此時就要在每個分區內多採集點資料啦。

jpeg(joint photographic experts group) 專家組開發了兩種基本的壓縮演算法，一種是採用以離散余弦變換(dct)為基礎的有損壓縮演算法，另一種是採用以**技術為基礎的無失真壓縮演算法。使用有損壓縮演算法時，在壓縮比為25:1的情況下，壓縮後還原得到的影象與原始影象相比較，非影象專家難於找出它們之間的區別，因此得到了廣泛的應用。

jpeg演算法的主要計算步驟

數字水印技術是將特定的資訊嵌入到數字資訊的內容中,要求嵌入的資訊不能被輕易的去除,在一定的條件下可以被提取出來,以確認作者的版權。

水印嵌入框圖：

水印檢測框圖：

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二維傅利葉變換可用通用的關係式來表示 式中 x,u 0,1,2,m 1 y,v 0,1,2,n 1 g x,y,u,v 和h x,y,u,v 分別稱為正向變換核和反向變換核。如果滿足 則稱正 反變換核是可分離的。進一步，如果g1和g2，h1和h2在函式形式上一樣，則稱該變換核是對稱的。數字影象都是實...

離散余弦變換

離散余弦變換 dct for discrete cosine transform 是與傅利葉變換相關的一種變換，它類似於 離散傅利葉變換 dft for discrete fourier transform 但是只使用實數。離散余弦變換相當於乙個長度大概是它兩倍的離散傅利葉變換，這個離散傅利葉變換是...

離散余弦變換

首先膜拜下wikipedia 我們已經知道dft將訊號變換為復指數訊號的線性組合，並且如果時域訊號是偶對稱的，那麼頻域將只有實部 復指數的余弦部分 所以，如果將有限長訊號延拓為偶對稱的，就可以將其變換為余弦訊號的線性組合。以下面的原始訊號作為例子 這個訊號的長度為4。若原始訊號長度為n，那麼延拓後的...