在文獻1的第四章中，式(4.2.5)和式(4.2.6)分別給出了（單變數的）一維離散傅利葉變換和反變換： f(
u)=1
m∑x=
0m−1
f(x)
e−j2
πux/
mu=0
,1,2
,…，m
−1 f
(x)=
∑u=0
m−1f
(u)e
j2πu
x/mx
=0,1
,2,…
，m−1
有時候，前邊的係數1m
會發生變化，但其乘積仍然為1m
，常見的情況如下： f(
u)=1
m−−√
∑x=0
m−1f
(x)e
−j2π
ux/m
u=0,
1,2,
…，m−
1 f(
x)=∑
u=0m
−11m
−−√f
(u)e
j2πu
x/mx
=0,1
,2,…
，m−1
在此，我們可以以第一組變換對為主來記憶dft。
同時，文獻2中接著給出了式(4.2.16)和式(4.2.17)所示的二維離散傅利葉變換和反變換： f(
u,v)
=1mn
∑x=0
m−1∑
y=0n
−1f(
x,y)
e−j2
π(ux
/m+v
y/n)
其中u=0,1
,2,…
，m−1
;v=0
,1,2
…，n−
1 。f(
x,y)
=∑u=
0m−1
∑v=0
n−1f
(u,v
)ej2
π(ux
/m+v
y/n)
其中x=0,1
,2,…
，m−1
;y=0
,1,2
…，n−
1 。對應地，前邊的係數1m
n 也可以發生變化，但其乘積要保持為1m
n 。根據wiki百科3以及文獻4可知，離散余弦變換有4~5種定義，我們僅給出最常用的dct-ii的定義。
在文獻5的第九章中，式(9.2.1)和式(9.2.2)分別給出了一維離散余弦變換和反變換，具體如下所示： c(
u)=a
(u)∑
x=0n
−1f(
x)co
s(2x
+1)u
π2nu
=0,1
,2,…
，n−1
f(x)=∑u
=0n−
1a(u
)c(u
)cos
(2x+
1)uπ
2nx=
0,1,
2,…，
n−1
其中，係數a(
u)的表示式為： a(
u)=⎧
⎩⎨⎪⎪
1n−−
√,2n
−−√,
u=0u=1,2,…，n-1
然而在matlab等軟體中矩陣下標是從1（而非0）開始，因此在matlab中該公式又被表述為： y(
k)=w
(k)∑
n=0n
−1x(
n)co
sπ(2
n−1)
(k−1
)2nk
=1,2
,3,…
，n x
(n)=
∑k=0
n−1w
(k)y
(k)c
osπ(
2n−1
)(k−
1)2n
n=1,
2,3,
…，n
其中，係數w(
k)的表示式為： w(
k)=⎧
⎩⎨⎪⎪
1n−−
√,2n
−−√,
k=1k=2,3,…，n
在文獻6的第九章中，式(9.2.4)和式(9.2.5)又分別給出了二維離散余弦變換和反變換，具體如下所示： c(
u,v)
=a(u
)a(v
)∑x=
0m−1
∑y=0
n−1f
(x,y
)cos
(2x+
1)uπ
2mco
s(2y
+1)u
π2n
其中u=
0,1,
2,…，
m−1;
v=0,
1,2,
…，n−
1 。 f(
x,y)
=∑u=
0m−1
∑v=0
n−1a
(u)a
(v)c
(u,v
)cos
(2x+
1)uπ
2mco
s(2y
+1)u
π2n
其中x=
0,1,
2,…，
m−1;
y=0,
1,2,
…，n−
1 。
上式和原文相比存在略微的不同（我們把其中乙個n替換成了m），在該文獻中並未給出係數的表示式，不過我們可以通過下邊的一組變換對得到其係數表示式。對應地，在matlab中將二維dct表述為下式：bp
q=αp
αq∑m
=0m−
1∑n=
0n−1
amnc
osπ(
2m+1
)p2m
cosπ
(2n+
1)p2
n其中0
≤p≤m
−1;0
≤q≤n
−1 a
mn=∑
p=0m
−1∑q
=0n−
1αpα
qbpq
osπ(
2m+1
)p2m
cosπ
(2n+
1)p2
n其中0
≤m≤m
−1;0
≤n≤n
−1其中，係數αp
與αq 的表示式分別為： αp
=⎧⎩⎨
⎪⎪1m
−−√,
2m−−
√,p=0p=1,2,…，m-1
和 αq
=⎧⎩⎨
⎪⎪1n
−−√,
2n−−
√,k=0k=1,2,…，n-1
rafael c. gonzalez and richard e. woods, 《數字影象處理》（第二版）,阮秋琦，阮宇智等譯。 ↩
rafael c. gonzalez and richard e. woods, 《數字影象處理》（第二版）,阮秋琦，阮宇智等譯。 ↩
維基百科：discrete cosine transform
↩章毓晉, 《影象處理》（影象工程·上冊）（第三版） ↩
章毓晉, 《影象處理》（影象工程·上冊）（第三版） ↩
章毓晉, 《影象處理》（影象工程·上冊）（第三版） ↩
離散傅利葉變換DFT
dft是為適應計算機分析傅利葉變換規定的一種專門運算，本章是數字訊號處理課程的重點章節。3.7用dft進行頻譜分析 1.用dft對連續訊號進行譜分析 1 原理 2 頻率解析度與dft引數的選擇 頻率解析度是指所用的演算法能將訊號中兩個靠得很近的譜峰分開的能力。設是乙個帶限的連續時間訊號，最高頻率為f...
離散傅利葉變換 DFT
這種型別的訊號沿正負軸無窮方向伸展,並且不會出現週期性的重複.此類訊號的傅利葉變換稱為傅利葉變換.此類訊號的傅利葉變換稱為傅利葉級數.在負無窮到正無窮區間內,這類訊號僅在一些不連續的點處有定義,並且不會周期性地反覆出現.此類訊號的傅利葉變換稱為離散時間傅利葉變換.這種型別的訊號是按一定時間間隔從負無...
離散余弦變換
離散余弦變換 dct for discrete cosine transform 是與傅利葉變換相關的一種變換，它類似於 離散傅利葉變換 dft for discrete fourier transform 但是只使用實數。離散余弦變換相當於乙個長度大概是它兩倍的離散傅利葉變換，這個離散傅利葉變換是...