這一篇說下第二種特徵數列，等比數列，同樣我們也應該知道它的」基本性質」，「擴充性質」和「判定方法」。
一：基本性質
1：通項公式： an=a1qn-1
2: 前n項和公式： sn= a1(1-qn)/(1-q)
二： 判定方法
1: an+1/an=q (q是常數) => 是等比數列。
2：an=cqn => 是等比數列。
3: an+12=an*an+2 => 是等比數列。
三：擴充性質
1: an=am
*qn-m;
2: 若m+n=p+q 則 aman=apaq;
3: 若是等比數列，若每隔k項取出一項，那麼取得的新數列仍是等比數列。
比如： k=3時 a1,a4,a7。
4： 若是等比數列，則arar+1, ar+2ar+3, ar+4ar+5仍然成等比數列。
比如：r=1時 則數列 a1a2, a3a4, a5a6成等比數列。
5: 若是等比數列，則ar+ar+1, ar+s+ar+s+1, ar+2s+ar+2s+1 仍成等比數列。
比如：r=1,s=10 則數列 a1+a2, a11+a12, a21+a22成等比數列。
6: 若是等比數列，sn是前n項和，則sk,s2k-sk,s3k-s2k仍成等比數列，公比為qk。
四：幾種模型問題
1： 我們知道an/an-1=q(常數)時就認為是等比數列，當q=bn時該如何處理，其實模型為an/an-1=bn。
證明： an/a1=(an/an-1)*(an-1/an-2)*(an-2/an-3)....*(a2/a1)
=> an/a1=bn*bn-1*bn-2......b1
=> an=a1*(b1b2b3...bn)
則：2: 當數列的遞推模型為an=b1an-1+b2an-2
，可以看出我們現在要研究的是an, an-1, an-2之間的遞迴關係。
這種模型可以瞬間秒殺「斐波那契數列問題」。
求解過程如下：
①： 將an,an-1,an-2替換成x2,x,1
則得 x2=b
1x+b
2，該方程也就是的二階特徵方程，然後解出特徵根x1,x2。
②：然後將a1,a2代入an後得到一組二元一次方程，求出c1，c2,最後得到an的通項公式。
五：幾個小實際應用
1： 斐波那契問題
具體細節就不說了，我們直接看它的遞迴公式，當a1=1,a2=1， an=an-1+an-2。
解答： 我們用特徵方程
首先將an,an-1,an-2替換成x2,x,1，則得到 的乙個二階特徵方程為:
x2=x+1 ①
由①得（求根公式）
x1=(1-√5)/2
x2=(1+√5)/2
因為x1!=x2，則
an=c1[(1-√5)/2]n+c2[(1+√5)/2]n ②
又因為a1=a2=1，則
c1[(1-√5)/2]+c2[(1+√5)/2]=1 ③
c1[(1-√5)/2]2+c2[(1+√5)/2]2=1 ④
求解方程得
c1=-(√5/5)
c2=(√5/5)
將c1，c2代入②式可得
an= (-(√5/5)[(1-√5)/2])n+(√5/5)*[(1+√5)/2]n
好了，我們知道通項公式了，想怎麼秒殺就怎麼秒殺了。
天籟數學 數列篇（3）
這一篇說下第二種特徵數列，等比數列，同樣我們也應該知道它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 一 基本性質 1 通項公式 an a1qn 1 2 前n項和公式 sn a1 1 qn 1 q 二 判定方法 1 an 1 an q q是常數 是等比數列。2 an cqn 是等比數列。3 an 12 an...
天籟數學 數列篇（3）
這一篇說下第二種特徵數列，等比數列，同樣我們也應該知道它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 一 基本性質 1 通項公式 an a1qn 1 2 前n項和公式 sn a1 1 qn 1 q 二 判定方法 1 an 1 an q q是常數 是等比數列。2 an cqn 是等比數列。3 an 12 an...
天籟數學 數列篇（2）
這篇就扯一下等差數列，只要看到等差數列，就應該有條件反射的想起它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 之後俺們就可以對 相應的題目進行秒殺。一 基本性質 1 通項公式 an a1 n 1 d 2 前n項和公式 sn n a1 an 2 sn na1 nd n 1 2 二 判定方法 1 an 1 an...