這篇就扯一下等差數列，只要看到等差數列，就應該有條件反射的想起它的」基本性質」，「擴充性質」和「判定方法」，之後俺們就可以對
相應的題目進行秒殺。
一：基本性質
1：通項公式： an=a1+(n-1)d;
2: 前n項和公式： sn=n(a1+an)/2;
sn=na1+nd(n-1)/2;
二： 判定方法
1: an+1 -an=d(常數) => 是等差數列。
2：2an+1=an+an+2 => 是等差數列。
3: an=kn+b (k,b為常數) => 是等差數列。 當然這個是將通項公式變形為一次函式，原型為: an=nd+(a1+d)。
4：sn=an2+bn(a,b為常數) => 是等差數列。 原理同上，將前n項和公式變形為一元二次函式。
三：擴充性質
1： an=am+(n-m)d => 這個公式得益於an和am的通向公式相減。
比如：a9=a7+2d。
2: 若m+n=l+r => am+an=al+ar。
比如：a1+a8=a2+a7。
3： (n+1)an-nan=d(常數) => 是等差數列。
4： 若an為等差數列，則數列(λ,b為常數)是公差為λd的等差數列。
比如： 的數列公差為3d。
5: 若an，bn都為等差數列，則(λ1,λ2為常數)是公差為λ1d1+λ2d2的等差數列。
比如：的數列公差為2d1+3d2。
6： 若an為等差數列，則 ak,ak+m,ak+2m也仍然為等差數列，公式為md。
四：幾種模型問題
1： 我們知道an-an-1=d(常數)就認為是是等差數列，當d=bn這樣的乙個變數的時候該如何處理，模型為an-an-1=bn。
證明: 由倒序相加法逆推可知，an-a1=(an-an-1)+(an-1-an-2)+...+(a2-a1)
具體的例子有： 若a1=1,an=an-1+4n,求an的問題。
2：數列的一階特徵方程【對an=pan-1+q(p!=+-1,q!=0)】的遞推公式的通用解法
比如」猴子吃桃「問題的通項公式為：an=2an-1+2的通用解法如下：
①：通過模型對比，可知: p=2，q=2。
②:將an,an-1替換為x。求出數列的特徵根x。
則 x=2x+2
=> x=-2
③：代入an的通用模型公式： an-x=(a1-x)pn-1
=> an+2=(1+2)*2n-1
=> an=3*2n-1-2 （哈哈，是不是很神奇，對這種模型我們現在有了通用解法,秒殺秒殺）
五：幾個小實際應用
有了這些神器，等差數列的問題相信我們有了比較紮實的基礎了,已經不怕不怕了。
1：甲乙兩個物體分別從相距70m的兩處同時相向運動，甲第1min走2m，以後每分鐘比前1min多走1m，乙每分鐘走5m。
(1) 甲乙開始運動後幾分鐘相遇。
(2) 如果甲乙達到對方起點後立即折返，甲繼續每分鐘比前1min多走1m，乙繼續每分鐘走5m，那麼開始運動幾分鐘後
第二次相遇。
解答：<1> 其實第一小題如果看的出來是等差數列，那麼這個問題基本就解決出來一半了。
甲： 其實是a1=2，d=1的等差數列，則甲在nmin內走了 2n+n(n-1)/2。
乙： 在nmin內走了5n。
=> 2n+n(n-1)/2+5n=70
=> n=7 or n=-20(捨去)
最後我們知道在min=7的時候第一次相遇。
<2> 將n=7代入甲可知a7=8，則第二次相遇時以a8=9為首項，記為bn。
則甲在這kmin內運動距離和為: 9k+k(k-1)/2。
則乙在kmin內運動距離還是為5k。
=> 9k+k(k-1)/2+5k=70*2
=> k=8 or k=-35(舍)
當然這個問題我們也可以用code去實現，當然什麼樣的知識程度決定了複雜度。
2：用分期付款的方式購買了家用電器一件，**為1150元，購買當天先付150元，以後每月這一天都付50元，並加付欠款利息，
月利息1%，利息不計入欠款，若交付150元以後的第乙個月開始算分期付款的第乙個月，問全部付款完後，買這件家電實際
花了多少錢？
解答：當然這套題仔細一分析還是一套等差數列的題目，付了150元後，餘款的1000需要分期付款，每月50元，所以20次就可以付
清了，我們只要求s20即可。
a1=50+1000 * 0.1=60
a2=50+(1000-50)=59.5
an=50+(1000-(n-1)*50)
則是以a1=60,d=-0.5為公差的等差數列。
則 s總=s20+150=+150=1255
最後我們也就得出了全部付款後需要總額1255元。
關於等差數列的實際應用太多太多，平時練習的題目都是直接揭露本質，不被這些文字糖所包裹...
天籟數學 數列篇（2）
這篇就扯一下等差數列，只要看到等差數列，就應該有條件反射的想起它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 之後俺們就可以對 相應的題目進行秒殺。一 基本性質 1 通項公式 an a1 n 1 d 2 前n項和公式 sn n a1 an 2 sn na1 nd n 1 2 二 判定方法 1 an 1 an...
天籟數學 數列篇（3）
這一篇說下第二種特徵數列，等比數列，同樣我們也應該知道它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 一 基本性質 1 通項公式 an a1qn 1 2 前n項和公式 sn a1 1 qn 1 q 二 判定方法 1 an 1 an q q是常數 是等比數列。2 an cqn 是等比數列。3 an 12 an...
天籟數學 數列篇（3）
這一篇說下第二種特徵數列，等比數列，同樣我們也應該知道它的 基本性質 擴充性質 和 判定方法 一 基本性質 1 通項公式 an a1qn 1 2 前n項和公式 sn a1 1 qn 1 q 二 判定方法 1 an 1 an q q是常數 是等比數列。2 an cqn 是等比數列。3 an 12 an...