經典演算法題每日演練 第二題 五家共井

古代數學巨著《九章算數》中有這麼一道題叫「五家共井，甲二綆（汲水用的井繩）不足，如（接上）乙一綆；乙三綆不足，如丙一綆；

丙四綆不足，如丁一綆；丁五綆不足，如戊一綆；戊六綆不足，如甲一綆，皆及。

意思就是說五家人共用一口井，甲家的繩子用兩條不夠，還要再用乙家的繩子一條才能打到井水；乙家的繩子用三條不夠，還要再用丙家的繩子

一條才能打到井水；丙家的繩子用四條不夠，還要再用丁家的繩子一條才能打到井水；丁家的繩子用五條不夠，還要再用戊家的繩子一條才能打

到井水；戊家的繩子用六條不夠，還要再用甲家的繩子一條才能打到井水。

最後問：井有多深？每家的繩子各有多長？

我們設井深為h，各家分別為a,b,c,d,e，則可以列出如下方程組：

2a+b=h   ①

3b+c=h   ②

4c+d=h   ③

5d+e=h   ④

6e+a=h   ⑤

首先我們看下普通青年的想法，他們的想法是找a,b,c,d,e之間的對應關係。

依次將②代入①，③代入②，④代入③，⑤代入④可得如下方程組：

a=b+c/2  

b=c+d/3   

c=d+e/4   

d=e+a/5   

從計算機的角度來說，我不希望有小數的出現，所以我可推斷： c一定是2的倍數，d一定是3的倍數，e一定是4的倍數，a一定是5的倍數，根據這種關係我們

就可以有如下**：

同樣我們的時間複雜度是o(n2)，急需優化。

我們再來看看文藝青年的想法，他們的想法是找a,b,c,d,e中的某個數與h的對應關係。

比如我就找c與h的對應關係，上面的①②③④⑤可寫成如下方程組：

b=h-2a   ⑥

c=h-3b   ⑦

d=h-4c   ⑧

e=h-5d   ⑨

a=h-6e   ⑩

將⑥，⑧，⑨，⑩分別代入⑦，一陣痙攣後可知：

c=(148/721)h

上面的公式也就表明了c和h的比例關係，我們令 h=721k,則 c=148k，將其代入⑥，⑦，⑧，⑨，⑩可得如下方程組

a=265k

b=191k

c=148k

d=129k

e=76k

x=721k

又因為k>0，所以題目有無數個解。這裡我就取0

相信大家以後遇到類似的問題，應該會胸有成竹了。

第二題 五家共井

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