從標題上看，是「指數分布族(exponential family)」，不是「指數分布(exponential distribution)」，這是兩個不同的概念，不要弄混了。指數分布族在上世紀30年代中期被提出，在概率論和統計學中，它是一些有著特殊形式的概率分布的集合，包括許多常用的分布，如正態分佈、指數分布、伯努利分布、泊松分布、gamma分布、beta分布等等。指數分布族為很多重要而常用的概率分布提供了統一框架，這種一般性有助於表達的方便和從更大的巨集觀尺度上理解這些分布。
下面我們用乙個重要分布的例子來說明下指數分布族。假設有乙個正態分佈，均值為0，服從x−
n(0,
σ2) ，則其概率密度函式pdf為：f(
x|σ)
=1σ2
π−−√
e−x2
2σ2
這個概率密度函式由乙個引數
σ 來定義。我們可以把該式子作如下變形：f(
x|σ)
=12π
−−√e
−log
σe−x
22σ2
=12π
−−√e
−x22
σ2−l
ogσ=
12π−
−√e−
12σ2
x2−l
ogσ
令：h(x
)=12
π√，η(σ
)=−1
2σ2 ，t(
x)=x
2 ，a(
σ)=l
ogσ ；則上式可以用如下的形式表達：f(
x|σ)
=h(x
)exp
(η(σ
)t(x
)−a(
σ))
我們把引數一般化為
θ ，則上式為： f(
x|θ)
=h(x
)exp
(η(θ
)t(x
)−a(
θ))
這就是指數分布族的概率密度函式pdf或概率質量函式pmf的通用表示式框架。
分布函式框架中的h(
x),η(θ
) ,t(
x)和a(θ
) 並不是任意定義的，每一部分都有其特殊的意義。
θ 是自然引數(natural parameter)，通常是乙個實數； h(
x)是底層觀測值（underlying measure）； t(
x)是充分統計量（sufficient statistic）； a(
θ)被稱為對數規則化（log normalizer）。
為什麼被稱為對數規則化，和對數有什麼關係？我們把上式作以下變形：f(
x|θ)
=h(x
)exp
(η(θ
)t(x
))ex
p(a(
θ))
兩邊同乘以ex
p(a(
θ)) ，得到： ex
p(a(
θ))f
(x|θ
)=h(
x)ex
p(η(
θ)t(
x))
兩邊同時積分，得到： ∫e
xp(a
(θ))
f(x|
θ)dx
=∫h(
x)ex
p(η(
θ)t(
x))d
x ex
p(a(
θ))∫
f(x|
θ)dx
=∫h(
x)ex
p(η(
θ)t(
x))d
x 根據概率密度函式pdf的定義，∫f
(x|θ
)dx=
1 ex
p(a(
θ))=
∫h(x
)exp
(η(θ
)t(x
))dx
則： a(
θ)=l
n∫h(
x)ex
p(η(
θ)t(
x))d
x 我們再看看泊松分布的例子，根據泊松分布的概念，其概率質量函式pmf為： f(
x|λ)
=e−λ
λxx!
改寫上式，我們可以得到： f(
x|λ)
=e−λ
λxx!
=1x!
e−λe
lnλx
=1x!
exln
λ−λ
令θ=λ
，h(x
)=1x
! ，η(
θ)=l
nλ ，t
(x)=
x ，a(
θ)=λ
，則泊松分布也可以表示成： f(
x|θ)
=h(x
)exp
(η(θ
)t(x
)−a(
θ))
因此，泊松分布也屬於指數分布族。
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