泊松分布和指數分布 10分鐘教程

大學時，我一直覺得統計學很難，還差點掛科。

工作以後才發現，難的不是統計學，而是我們的教材寫得不好。比起高等數學，統計概念其實很容易理解。

我舉乙個例子，什麼是泊松分布和指數分布？恐怕大多數人都說不清楚。

我可以在 10 分鐘內，讓你毫不費力地理解這兩個概念。

一、泊松分布

日常生活中，大量事件是有固定頻率的。

它們的特點就是，我們可以預估這些事件的總數，但是沒法知道具體的發生時間。已知平均每小時出生 3 個嬰兒，請問下乙個小時，會出生幾個？

有可能一下子出生 6 個，也有可能乙個都不出生。這是我們沒法知道的。

泊松分布就是描述某段時間內，事件具體的發生概率。

上面就是泊松分布的公式。等號的左邊，p 表示概率，n表示某種函式關係，t 表示時間，n 表示數量，1 小時內出生 3 個嬰兒的概率，就表示為 p (n(1) = 3) 。等號的右邊，λ 表示事件的頻率。

泊松分布的圖形大概是下面的樣子。

可以看到，在頻率附近，事件的發生概率最高，然後向兩邊對稱下降，即變得越大和越小都不太可能。每小時出生 3 個嬰兒，這是最可能的結果，出生得越多或越少，就越不可能。

接下來兩個小時，乙個嬰兒都不出生的概率是 0.25%，基本不可能發生。

接下來乙個小時，至少出生兩個嬰兒的概率是 80%。

二、指數分布

指數分布描述事件發生間隔的概率。下面這些都屬於指數分布。

指數分布的公式可以從泊松分布推斷出來。如果下乙個嬰兒至少要間隔時間 t 才會出生，那就等同於時間 t 之內沒有任何嬰兒出生。

反過來，事件會在時間 t 之內發生的概率，就是 1 減去上面的值。

指數分布的圖形大概是下面的樣子。

可以看到，隨著間隔時間變長，事件的發生概率急劇下降，呈指數式衰減。想一想，如果每小時平均出生 3 個嬰兒，上面已經算過了，下乙個嬰兒間隔 2 小時才出生的概率是 0.25%，那麼間隔 3 小時、間隔 4 小時的概率，是不是更接近於0？

接下來 15 分鐘，會有嬰兒出生的概率是 52.76%。

接下來的 15 分鐘到 30 分鐘，會有嬰兒出生的概率是 24.92%。

三、總結

泊松分布和指數分布，都有乙個前提，那就是事件之間不能有關聯，必須是獨立事件，否則就不能運用上面的公式。

一句話總結：泊松分布是單位時間內獨立事件發生次數的概率分布，指數分布是獨立事件的時間間隔的概率分布。

[說明] 本文受到 nbviewer 文件的啟發。

（正文完）