演算法概論 8 8

在精確的4sat(exact 4sat)問題中，輸入為一組子句，每個子句都是恰好4個文字的析取，且每個變數最多在每個子句中出現一次。目標是求它的滿足賦值————如果該賦值存在。證明精確的4sat是np-完全問題。

考慮通過將3sat問題歸約到4sat(exact 4sat)問題來驗證4sat(exact 4sat)問題的np完全性。

對於任意乙個3sat例項，考慮其每個子句。若該子句中多次包含同一文字，則這些文字可以縮減成一次，即

... ∨ p ∨ ... ∨ p ∨ ... ∨ p ∨ ...=... ∨ p ∨ ... ；

若該子句中某個包含某個文字本身及其否定，則這些文字可以相互抵消去掉，即

... ∨ p ∨ ... ∨ ┐p ∨ ... ∨ ┐p ∨ ...=... ；

經過上述簡化後，在子句中新增若干啞變數，是每個子句包含的文字數目為4個。此時，3sat例項成功轉化為乙個4sat例項。顯然，上述過程能使任意乙個3sat例項轉化為乙個4sat例項，於是3sat問題成功歸約為乙個4sat(exact 4sat)問題。