在幾乎所有的幾何問題中，向量（有時也稱向量）是乙個基本點。向量的定義包含方向和乙個數（長度）。在二維空間中，乙個向量可以用一對x和y來表示。例如由點（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）來表示。這裡大家要特別注意，我這樣說並不代表向量定義了起點和終點。向量僅僅定義方向和長度。
點乘比較簡單，是相應元素的乘積的和：
v1( x1, y1) v2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2
注意結果不是乙個向量，而是乙個標量（scalar）。點乘有什麼用呢，我們有：
a·b = |a||b|cos(θ)
θ是向量a和向量b見的夾角。這裡|a|我們稱為向量a的模(norm)，也就是a的長度， 在二維空間中就是|a| = sqrt(x^2+y^2)。這樣我們就和容易計算兩條線的夾角：cos(θ) = a·b /(|a||b|)
當然你知道要用一下反余弦函式acos()啦。（回憶一下cos(90)=0 和cos(0) = 1還是有好處的，希望你沒有忘記。）這可以告訴我們如果點乘的結果，簡稱點積，為0的話就表示這兩個向量垂直。當兩向量平行時，點積有最大值
另外，點乘運算不僅限於2維空間，他可以推廣到任意維空間。（譯註：不少人對量子力學中的高維空間無法理解，其實如果你不要試圖在視覺上想象高維空間，而僅僅把它看成三維空間在數學上的推廣，那麼就好理解了）
因為向量的點乘滿足分配率：a·(b+c)=a·b+a·c
c = a - b
c·c = (a -b)·(a - b)
c·c = (a·a - 2a·b + b·b)
跟據這個公式，我們能拿到兩個向量之間的夾角，這對於判斷兩個向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用處。具體判斷如下：
1) a·b>0 方向基本相同，夾角在0°到90°之間
2) a·b=0 正交
3) a·b<0 方向基本相反，夾角在90°到180°之間
與點積不同，它的運算結果
是乙個向量而不是乙個標量
。並且兩個向量的叉積與這兩個向量的和垂直。
相對於點乘，叉乘可能更有用吧。2維空間中的叉乘是：
v1(x1, y1) x v2(x2, y2) = x1y2 – y1x2
看起來像個標量，事實上叉乘的結果是個向量，方向在z軸上。上述結果是它的模。在二維空間裡，讓我們暫時忽略它的方向，將結果看成乙個向量，那麼這個結果類似於上述的點積，我們有：
a x b = |a||b|sin(θ)
然而角度θ和上面點乘的角度有一點點不同，他是有正負的，是指從a到b的角度。因此 ，向量的外積不遵守乘法交換率
，因為向量a×向量b=-向量b×向量a
在物理學中，已知力與力臂求外積
，就是向量的外積，即叉乘。
幾何意義 :
叉積的長度 |a×b| 可以解釋成以a和b為鄰邊的平行四邊形的面積。
混合積 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a，b，c為稜的平行六面體的體積。
代數規則 :
反交換律：
a×b= -b×a
加法的分配律：
a× (b+c) =a×b+a×c
與標量乘法相容：
(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
不滿足結合律，但滿足雅可比恒等式：
a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
分配律，線性性和雅可比恒等式別表明：具有向量加法和叉積的 r3 構成了乙個李代數。
兩個非零向量 a 和b 平行，當且僅當a×b=0
拉格朗日公式
這是乙個著名的公式，而且非常有用：
a× (b×c) =b(a·c) -c(a·b),
向量c的方向與a,b所在的平面垂直，且方向要用「右手法則」判斷。判斷方法如下：
1.右手手掌張開，四指併攏，大拇指垂直於四指指向的方向；
2.伸出右手，四指彎曲，四指與a旋轉到b方向一致，那麼大拇指指向為c向量的方向。
在3維幾何中，我們可以一眼看出來，叉乘的結果也是乙個向量，而且這個向量不是一般的向量，而是大名鼎鼎的"法向量"，3d技術中法向量有多重要我就不吹了，反正是個vip概念。
在2維集合中，axb等於由向量組成的平行四邊形的面積（證明很簡單，你們可以自己試著證明）
總之：向量的叉積最重要的應用就是建立垂直於平面，三角形，或者多邊形的向量。
如果兩個或多個向量，它們的點積為0，那麼它們互相稱為正交向量。在二維或三維的歐幾里得空間中，兩個或三個向量兩兩成90°角時，它們互為正交向量。正交向量的集合稱為正交向量組。
如果：aa
t=e（e為單位矩陣，a
t表示「矩陣a的轉置矩陣」。）或a
ta=e，則n階
實矩陣a稱為正交矩陣， 若a為
正交陣，則滿足以下條件:
1) a
t是正交矩陣
2)
（e為單位矩陣）
3) a的各行是單位向量且兩兩正交
4) a的各列是單位向量且兩兩正交
5) (ax,ay)=(x,y) x,y∈r
6) |a| = 1或-1
正交矩陣通常用字母q表示。
舉例：a=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]
則有：r11^2+r21^2+r31^2=r12^2+r22^2+r32^2=r13^2+r23^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性質
若a是正交矩陣則a的n個行（列)向量是n維向量空間的一組標準正交基【即線性不相關】2. 正交矩陣（orthogonal matrix)
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