對應於係數矩陣初等變換後，
對應 於主元列 的
變數 ，稱為基本變數，
對應 非主元列 的
變數 稱為自由變數
基本變數可以表示成自由變數的
線性組合
，也就是說，自由變數之間是
線性無關 的
可以被自由變數表示的基本變數和自由變數之前是線性相關的，自由變數之間是線性無關的，因為把基本變數右移，就成了乙個係數不為零的齊次方程。比如x1=x3+x5,變數右移後變成x3+x5-x1=0，係數分別是1,1，-1，不全為0，所以可以說x1，x3，x5線性相關。
所以零空間，也就是解空間的維數就是自由變數的個數，即非主元列的個數
列空間的維數是主元列的個數
一般而言，從以下幾個方面入手：
1.先要弄清楚這個概念是怎樣提出來的？它的背景是什麼？
2.這個概念的確切內容是什麼？
3.多舉一些例子來幫助理解概念
人們很早就用代數的方法去研究幾何圖形的性質，即建立座標系，用座標表示點，用方程表示圖形，這就是解析幾何。線性代數正是隨著解析幾何的研究而發展起來的。
在解析幾何裡，經常要求交點或者交線，也就是求線性方程組的解。
所以線性方程在什麼時候有解，怎麼求解，解的結構如何，這就是線性代數要研究的第乙個問題。
線性方程組可以完全被它的全部係數和
常數項決定
，即ax=b裡面的a和b，至於未知數用什麼符號表示是沒有關係的。因此線性方程完全可以用乙個矩陣來表示[a b]（增廣矩陣），所以研究線性方程組就轉化為研究矩陣。
在研究線性方程組時，乙個線性方程
a1x1+a2x2+.....+akxk=b可以用
乙個有序陣列
（a1,a2,.....ak,b)
表示，這樣的有序陣列稱之為
向量 。乙個n個數字的有序陣列稱為n維向量。但是像向量和矩陣這些物件已經不是單純的數，所以只滿足特定的運算方式，線性代數就是研究具有加法和數乘這兩種線性運算的集合的一門課程，且這樣的集合就稱為線性空間。
我們最初的目的是研究線性方程組什麼時候有解，由於每乙個單獨的線性方程都可以用乙個向量表示，所以自然會問
線性方程組是否有
解 跟表示方程組的這一組向量之間是怎麼樣的向量
有什麼關係。兩個向量的關係即共線與不共線，在解析幾何裡知道，兩個向量共線的充要條件是其中乙個向量是另乙個向量的倍數a=mb，即1*a-m*b=0，換而言之，也就是說存在不全為零的係數k1，k2，使得k1a+k2b=0，從而引出線性相關，推廣到n維向量空間：
如果存在一組
不全為零（有非零解）
的係數使得k1a1+k2a2+......+ksas=0a成立，則稱向量組（a1
,a2,.....as）
線性相關
，值得注意的是，對於任何向量組都有0*a1+0*a2+.....+0*as=0，即一定有零解，但是，是不是
只有零解呢？
如果只有當係數全部為零時，方程成立，則稱向量（a1,a2,.....as）
組線性無關
。除開線性方程組用到矩陣之外，不同座標系中的座標變換也可以用矩陣來表示，或者說這是矩陣最重要的意義。同時，二次曲線問題的提出需要研究二次型，矩陣也是研究二次型乙個有力的數學工具。
二次型理論首先的乙個應用就是解決了二次曲線
，特別是二次曲面的分類問題，其次，
係數是實數的
二次型的正定，負定，不定性
被用在數學分析中解決多元函式的
極大值，極小值問題
。乙個線性方程組可以用乙個矩陣來表示，
乙個線性方程可以用乙個向量
來表示所以
最大無關向量組的向量的個數
，其實也就是化簡後
同解方程的個數，即秩
聯絡矩陣就是：
不相關的行數等於不相關的列數，這個數字就是秩！！！
三個二維向量肯定是線性相關的
因為二維向量最多能張成乙個二維的空間
兩個三維的向量能張成幾維的空間？最多只能張成二維的空間，不過要注意的是，這個二維的空間是三維空間的子空間。
所以行空間和列空間的維數相等。
線代筆記1
n元齊次方程方程組的解空間 秩r 是 rn上的n r維的子空間。解空間 零空間 是係數矩陣a行空間的正交補。正交補的意思是，n維空間裡的兩個子空間正交，且兩個子空間原點重合起來剛好成張成n維空間。將矩陣a看作行向量 則矩陣方程ax 0可以理解為 任意解向量與行向量正交 因為內積為0 而這些行向量可以...
線代筆記2
可逆 行列式不為零 滿秩 齊次方程只有零解 線性無關 線性無關的意思是 向量之間沒有任何關係，誰也不能表示誰，誰也不能被誰表示，向量前的係數都是零 在高斯消元過程中，會出現方程組中若干個方程被消去的情況，剩下的方程個數稱為r，稱為線性方程組的秩。這r個方程可以表示原方程組中的所有方程，並且這r個方程...
線代筆記 05 復合矩陣
源 線性代數的本質 線性變換可以看作引數 返回值都是向量的函式。當多個線性變換復合作用於同乙個向量的時候，可以通過矩陣復合運算 也就是矩陣乘法 得到乙個等效變換。矩陣實際上描述 追蹤 的是基向量的變換，而空間內任意向量則是基向量特定的線性組合。矩陣復合運算可以模擬為函式中的 f g x 將 f 和 ...