二維DCT變換

出處：

dct，又叫離散預先變換，它的第二種型別，經常用於訊號和影象資料的壓縮。經過dct變換後的資料能量非常集中，一般只有左上角的數值是非零的，也就是能量都集中在離散余弦變換後的直流和低頻部分。

1，一維dct變換

我們首先看著一維的dct變換，這是二維的基礎。一維的dct變換共有8種，其中最實用的是第二種形式，公式如下：

dct1 其中c(u)是加上去乙個係數，為了能使dct變換矩陣成為正交矩陣，在後面二維變換將看到他的作用。n是f(x)的總數。相比其他幾種形式，他的運算還是比較簡單的，因此也用的比較廣

2，二維dct變換

二維dct變換是在一維的基礎上再進行一次dct變換，這個比較好理解，直接看公式：

這裡只討論兩個n相等的情況，也就是資料是方陣的形式，在實際應用中對不是方陣的資料都是先補齊再進行變換的。為了matlab**方便點，寫成矩陣形式：

用matlab來模擬一下，使用隨機生成的4x4矩陣作為輸入，程式如下：

clear;
clc;
x=round(rand(4)*100);%隨機生成的資料
a=zeros(4);%變換矩陣
fori=0:3
forj=0:3
ifi==0
a=sqrt(1/4);
else
a=sqrt(2/4);
end            
a(i+1,j+1)=a*cos(pi*(j+0.5)*i/4);
endendy=a*x*a';%dct變換
yy=dct2(x);%用matlab中的函式進行dct變換

y是使用上面的公式進行變換，yy是用matlab自帶的dct2函式變換，結果是是：

x = 61 19 50 20 82 26 61 45 89 90 82 43 93 59 53 97 y = 242.5000 32.1613 22.5000 33.2212 -61.8263 7.9246 -10.7344 30.6881 -16.5000 -14.7549 22.5000 -6.8770 8.8322 16.6881 -35.0610 -6.9246 yy = 242.5000 32.1613 22.5000 33.2212 -61.8263 7.9246 -10.7344 30.6881 -16.5000 -14.7549 22.5000 -6.8770 8.8322 16.6881 -35.0610 -6.9246

可以看出y和yy的結果是一樣的，這也進一步驗證了上面的公式是正確的。由於x是隨機生成的，相關性很小，變換後的結果比較亂；如果是訊號或影象這樣相關性比較大的資料的話，數值會集中在左上角，右下角一般都是零，再使用「之」字型掃瞄得到資料流會包含很多連續的零，編碼後資料量會非常小，這就是dct變換帶來的好處。

3.二維dct反變換

dct逆變換的公式如下

矩陣形式可以由正變換的公式直接推出來，因為在a中加了c(i)這個係數，使得a成為了正交矩陣，所以我們就可以這樣做：

在用matlab來驗證是否能反變換出原來的資料：

clear;
clc;
x=[    61
1950
2082
2661
4589
9082
4393
5953
97];
a=zeros(4);
fori=0:3
forj=0:3
ifi==0
a=sqrt(1/4);
else
a=sqrt(2/4);
end            
a(i+1,j+1)=a*cos(pi*(j+0.5)*i/4);
endendy=a*x*a';
x1=a'*y*a;

x使用的是上面正變換用的資料，執行後得到的x1為：

x1 =61.0000 19.0000 50.0000 20.0000 82.0000 26.0000 61.0000 45.0000 89.0000 90.0000 82.0000 43.0000 93.0000 59.0000 53.0000 97.0000

和x完全相等。在實際進行編碼的時候，比如jpeg壓縮的時候，只會對y左上角的資料進行傳輸，所以解碼出來的內容不會完全和原來的相同。

4.整數dct變換

說道dct就順便提一下x264中的整數dct變換，整數dct變換是以dct變換為基礎的，為了減少計算量做的一些調整，下面我寫一下整數dct變換公式的大致推導過程：

這樣在對大括號部分進行計算時就都是加法和減法了，而且在精度上沒有太大降低。在x264實際編碼中，變換和量化是一起進行的，使得編碼速度有了很大的提高。

二維DCT變換

二維DCT變換 Python實現

二維傅利葉變換需知

DCT變換和DFT變換

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