DCT變換和DFT變換

這裡我只談論二維的dft變換，有關一維的dft，請檢視一下部落格，裡面有詳細介紹：

根據上面的公式，我們可以得到對應的離散傅利葉變換呃**，下面是matlab版本的**，和公式(12)是一一對應的，時間複雜度為（mn)^2，通常記成n^4，因此對於乙個512*512的來說，計算量就已經很大了，更不用說別的高解析度影象了，下面的**輸入block_struct是為了方便做blockproc，如果直接將影象的值賦給f就可以直接做dft：

function f =  dft2(block_struct)
f=block_struct.data;
[m, n] = size(f);
f = zeros(m,n);
for k = 0:m-1
for l = 0:n-1
f(k+1,l+1) = dft_atomic_sum(f,k,l,m,n);
endend%% computing a core of dft2
function f_kl = dft_atomic_sum(f,k,l,m,n)
f_kl = 0;
for m=0:m-1
for n=0:n-1
f_kl = f_kl + f(m+1,n+1)*exp(-i*2*pi*( k*m/m   + l*n/n) );        
endend

因此，常用的方法就是先將影象劃分為8*8的塊，然後對每個塊執行dft變換：

fun_dft = @(block_struct) dft2(block_struct);
after_dft=blockproc(y,[8,8],fun_dft);

這樣的時間複雜度就降低了很多，變成了o（8*8*block_num），其中block_num就是塊的個數，因此現在常用的fft演算法，該演算法的介紹很多，本文主要介紹原始dft，對fft感興趣的可以查閱相關資料。

idft為離散傅利葉變換的逆變換，公式如下;

相應的**如下，是根據dft2改編的：

function f =  idft2(block_struct)
f=block_struct.data;
[m, n] = size(f);
f = zeros(m,n);
for k = 0:m-1
for l = 0:n-1
f(k+1,l+1) = idft_atomic_sum(f,k,l,m,n);
endend%% computing a core of dft2
function f_kl = idft_atomic_sum(f,k,l,m,n)
f_kl = 0;
for m=0:m-1
for n=0:n-1
f_kl = f_kl + f(m+1,n+1)*exp(i*2*pi*(k*m/m+l*n/n));        
endendf_kl = 1/n * 1/m * f_kl ;

同樣需要對影象的8*8的塊進行idft，**如下：

fun_idft=@(block_struct) idft2(block_struct);
after_idft=blockproc(after_dft,[8,8],fun_idft);
after_idft=abs(after_idft);

可以試驗一下，先進行dft，然後進行idft，可以無損的恢復回來：

img=magic(8)
block_struct.data=img
after_dft=dft2(block_struct)
after_inverse_dft=abs(idft2(after_dft))
after_inverse_dft==img

同樣的，我只對二維的dct變換做一些介紹，一維的dct以及相應理論可以檢視下面這篇**：

產生dct變換矩陣a的**如下：

n=8;
a=zeros(n);
for i=0:n-1
for j=0:n-1
if i==0
a=sqrt(1/n);
else
a=sqrt(2/n);
end            
a(i+1,j+1)=a*cos(pi*(2*j+1)*i/(2*n));
endend

同理，對8*8塊進行dct變換的**如下，如果不想使用8*8分塊進行dct，那麼需要產生乙個n*n大小的dct變換矩陣a，然後使用f=afa'計算：

fun = @(block_struct) a*(block_struct.data)*a';
after_dct=blockproc(image,[8,8],fun);

離散余弦變換的逆變換，逆變換非常簡單，只需要令f=a'fa就可以了：

fun2 = @(block_struct) a'*(block_struct.data)*a;
inverse_dct=blockproc(after_zigzag,[8,8],fun2);

中間的dct結果是我使用zigzag保留前16個係數，其餘都置零得到的結果：

下面是使用dft變換之後的結果，第二幅圖是使用abs(after_dft)得到的頻譜圖，第三幅圖是使用angle(after_dft)得到的相位圖，idft是逆變換之後的得到的恢復的影象。

DCT變換和DFT變換

離散傅利葉變換DFT和離散余弦變換DCT

dct變換可以用什麼方法代替 DCT變換

離散余弦變換 DCT

DCT變換和DFT變換

離散傅利葉變換DFT和離散余弦變換DCT

dct變換可以用什麼方法代替 DCT變換

離散余弦變換 DCT

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