\[ \left [\begin
x^` \\
y^` \\
1\end\right ]=
\left [\begin
x+t_x \\
y+t_y \\
1\end\right ]=
\left [\begin
1 & 0 & t_x \\
0 & 1 & t_y \\
0 & 0 &1
\end\right ]
\left [\begin
x \\
y \\
1\end\right ]
\]\[ \left [\begin
x^` \\
y^` \\
1\end\right ]=
\left [\begin
xs_x \\
ys_y \\
1\end\right ]=
\left [\begin
s_x & 0 & 0 \\
0 & s_y & 0 \\
0 & 0 & 1
\end\right ]
\left [\begin
x \\
y \\
1\end\right ]
\]\[ \left [\begin
x^` \\
y^` \\
1\end\right ]=
\left [\begin
xcos\beta-ysin\beta \\
xsin\beta+ycos\beta \\
1\end\right ]=
\left [\begin
cos\beta & -sin\beta &0 \\
sin\beta & cos\beta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end\right ]
\left [\begin
x \\
y \\
1\end\right ]
\]\[ t=
\left [ \begin
a & b & c & l \\
d & e & f & m \\
g & h & i & n \\
p & q & r & s
\end \right]
\]其中：
\[ t_1=
\left[\begin
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end\right]
\]\[ t=
\left [ \begin
s_x & 0 & 0 & 0 \\
0 & s_y & 0 & 0 \\
0 & 0 & s_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]\[r_(\beta ,\alpha ,\gamma)=r_x(\beta )r_y(\alpha )r_z(\gamma)
\]
繞x軸旋轉變換\[ t=
\left [ \begin
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & cos\beta & -sin\beta & 0 \\
0 & sin\beta & cos\beta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]
繞y軸旋轉變換\[ t=
\left [ \begin
cos\alpha & 0 & sin\alpha & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
-sin\alpha & 0 & cos\alpha & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]
繞z軸旋轉變換\[ t=
\left [ \begin
cos\gamma & -sin\gamma & 0 & 0 \\
sin\gamma & cos\gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]\[\]
關於x軸的反射\[ t=
\left [ \begin
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]
關於y軸的反射\[ t=
\left [ \begin
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]
關於z軸的反射\[ t=
\left [ \begin
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]\[\]
沿x方向錯切\[ t=
\left [ \begin
1 & b & c & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]
沿y方向錯切\[ t=
\left [ \begin
1 & 0 & 0 & 0 \\
d & 1 & f & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]
沿z方向錯切\[ t=
\left [ \begin
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
g & h & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]\[ t_2=
\left[\begin
l \\
m \\
n\end\right]
\]\[ t=
\left [ \begin
1 & 0 & 0 & t_x\\
0 & 1 & 0 & t_y \\
0 & 0 & 1 & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end \right]
\]\[ t_3=
\left[\begin
p & q & r
\end\right]
\]\[先旋轉r，再平移t
\]\[\left[\begin
x^, \\
y^, \\
z^, \\
1\end\right]
=tr\left[\begin
x \\
y \\
z \\
1\end\right]
\]\[先平移t,再旋轉r
\]\[\left[\begin
x^, \\
y^, \\
z^, \\
1\end\right]
=rt\left[\begin
x \\
y \\
z \\
1\end\right]
\]\[t=\left[\begin
a & b & c & t_x \\
d & e & f & t_y \\
g & h & i & t_z \\
0 & 0 & 0 & 1
\end\right]
\]\[t(c)r(\alpha )t(-c)
\]
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