HDOJ 2036 求多邊形面積

可以利用多邊形求面積公式：

s = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )

其中點(x0, y0), (x1, y1), ... , (x

n, yn)為多邊形上按逆時針順序的頂點。

簡要證明：

1.我們先簡單地從三個點入手(包括原點)。

面積s△oab = sabcd - s△oad - s△obc

·sabcd = (y0 + y1) × (x0 - x1) ÷ 2
·s△oad = x0 × y0 ÷ 2
·s△obc = (-x1) × y1 ÷ 2
s△oab 	= (x0 × y0 + x0 × y1 - x1 × y0 - x1 × y1 - x0 × y0 + x1 × y1) ÷ 2
= (x0 × y1 - x1 × y0) ÷ 2
公式成立。同理你可以算出其他情況也能符合這個公式。

此處注意：由上面的公式可猜想：任意三角形abc(座標逆時針排序)的面積為1/2*（x0*y1-x1*y2+x1*y2-x2*y1+x2*y0-x0*y2）

設a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3) 

由a-->b-->c-->a 按逆時針方向轉。(行列式書寫要求） 
設三角形的面積為s 
則s=（1/2)*(下面行列式） 
|x1 y1 1| 
|x2 y2 1| 
|x3 y3 1| 
s=(1/2)*(x1y2*1+x2y3*1+x3y1*1-x1y3*1-x2y1*1-x3y2*1) 
即用三角形的三個頂點座標求其面積的公式為: 
s=(1/2)*(x1y2+x2y3+x3y1-x1y3-x2y1-x3y2)

由此可推廣至n邊型，可得如下猜想：

s = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )

再加如第n+1點後，面積s' = s + s△a0anan+1

·s = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*y0-x0*yn) )
·s△a0anan+1
= 0.5 * ( (x0*yn-xn*y0) + (xn*yn+1-xn+1*yn) + (xn+1*y0-x0*yn+1) )
∴s' = s = 0.5 * ( (x0*y1-x1*y0) + (x1*y2-x2*y1) + ... + (xn*yn+1-xn+1*yn) + (xn+1*y0-x0*yn+1) )

得證！此公式可引申之三維空間：

已知abc三點座標為（x1,y1,z1）(x2,y2,z2),(x3,y3,z3)

則空間sabc=    |x1,y1,z1|  *1/2

|x2,y2,z2|

|x3,y3,z3|

**：

#include #include int main(void)

sum += x[0]*y[2] - x[2]*y[0];
printf("%.1f\n", sum / 2.0);
}return 0;
}

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