由上面的公式可知，t(z)可以轉化為兩個多項式x(z)和x(-z)的和，根據多項式原理；若想要t(z)=n*x(z)，則需要滿足x(-z)部分等於0，而x(z)部分不等於0。
也就是必須滿足上訴等式，重構才能成立。後面的z的-l次方是常數在z變換下的結果。逆變換之後不會改變原來的訊號。由於上面的式子是x(z)的係數，所以又被稱為失真項，而下面的式子則是x(-z)的係數，也就是原訊號平移乙個pi相位之後的結果，因此被稱為混疊項。
從混疊項開始推導，由於h0和f0是低通濾波器，而h1和f1則是高通濾波器。根據多項式的一些基本原理，因此最簡單的有h0(-z)=f1(z)，f0(z)=-h1(-z)。
假設,p0(z)=f0(z)h0(z)，p1(z)=f1(z)h1(z)。則將上面的等式代入，可以得到p0(z)=-p1(-z)。因此有p0(z)-p0(-z)=2z(-l)，由於公式的左邊是奇函式，所以l必須為奇數。同時z的-l次方是乙個奇函式。令p(z)=(z(l))p0(z)，則上面的等式可以轉化為：
p(z)+p(-z)=2，轉化過程利用到了z的-l次方為奇函式，其中p(z)的偶數項全部等於0。因為p(z)和p(-z)的關係是平移了乙個pi相位，因此他們之間偶次項係數應該相等，而奇次項則互為相反數（這一點可以放到傅利葉變換域下面進行推導）。到這裡是不是和之前的理想濾波器組有類似的感覺，因此p(z)也被稱為半帶濾波器。
推導到這一步，可以發現整個方程的求解就比較容易了。也就是滿足偶數次項為0，而奇數次項相加等於2的p(z)非常多。比如下面這個例子：
將z的l次方視作乙個平移的話，可以近視看做p(z)=h0f0。因此只需要求上面這個方程的根，並對這些根進行分配就可以了。
將之前的兩個方程進行中的z替換成-z，可以得到另外兩組方程，四個方程組組合成乙個矩陣乘法。如下圖所示，
由於上面給出的限定條件不夠多，屬於兩個方程求出四個未知量，導致最後求解比較麻煩。因此可以在上面的條件裡附加一些額外的條件來簡化求解過程。
最簡單的附加條件是：h
1(z)=h
0(-z)——使得高通是低通濾波器的乙個平移就可以了。然而這樣的條件過於強，導致除了haar小波之外沒有有限脈衝響應的濾波器組。
根據上面的條件代入到公式中，可以得到h02
(z) - h02
(-z) =2z
-l。將濾波器分為偶數項和奇數項。則h(z)=a（z2）+z(-1)a(z2)，代入公式可以得到4*z^(-1)a(z^2)b(z^2)=2*z^(-l)。如果是有限脈衝響應，則在計數和偶數項只有一項的係數不為0。
小波與濾波器組（2）
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