dft的窄帶濾波器組理解
在很多的應用場合，比如在雷達的多目標速度測量中，常用dft來實現等效的窄帶濾波器組。在通常的印象中，濾波器組是多速率訊號處理中的內容，它是怎麼和dft有了聯絡的呢？
首先從簡單的數學推導上來看dft與窄帶濾波器組之間的關係。dft的定義表示式為：
利用旋轉因子的週期性，上式可以很方便地改寫為：
於是dft可以寫成如下的卷積形式：
上式看起來有點複雜，實際上其物理意義非常明顯：對於給定的k，dft的輸出為輸入訊號x(n)通過乙個衝激響應為exp(j*2*pi*k*n/n)的濾波器在n時刻的取值。exp(j*2*pi*k*n/n)在時域上幅度為乙個門函式，對應的頻譜為sinc函式，這是數字訊號處理中乙個基本的對應關係。也即是說，exp(j*2*pi*k*n/n)實際上就是乙個窄帶濾波器。對於k=0，1，… ，n-1，exp(j*2*pi*k*n/n)就構成了一組窄帶濾波器，即窄帶濾波器組。
了解了上述dft與窄帶濾波器組之間的關係之後，就可以從這個角度更深入地理解dft的本質了。下面以dft最常用的雜訊抑制為例來說明。假定輸入為乙個受到汙染的單頻正弦訊號，訊號的功率為1，雜訊的功率也為1，也即是說輸入訊雜比為0db。經過1024點的dft之後，從濾波器的角度講，訊號的功率可以認為保持不變，雜訊的功率則因為濾波器的頻寬僅為fs/1024,因此雜訊的功率為1/1024，輸出的訊雜比為10*log101024=30db。實際上，從濾波器的角度講，訊號經過dft之後，分析頻寬僅為原來的1/1024倍。這樣，通過窄帶濾波器後，由於訊號的頻寬小於分析頻寬，能全部通過，而白雜訊訊號的頻寬遠大於分析頻寬，僅能通過很小的一部分，這樣，大部分的雜訊被過濾掉了，從而提高了輸出訊號的訊雜比，從而有利於從雜訊中檢測訊號。
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