01揹包問題

01揹包問題：題目

有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的占用容量是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

思路：

揹包問題，最終結果是要求將n個物品待選物品放入容量為v的揹包能獲得的最大值。

假設將乙個物品放入容量為v的函式記為f1(v),那麼動態規劃的情況下：可以先求將1個待選物品放入容量為（0……v）的揹包中獲得的價值最大值，用函式表示就是求出f1(0)……f1(v)，再求將2個待選物品放入容量為（0……v）揹包中獲得價值的最大值f2(0)……f2(v)。…………最終求出將v個待選物品放入容量為（0……v）的揹包中獲得價值的最大值fv(0)……fv(v)。然後最後那個fv(v)就是將v個待選物品放入容量為v的揹包中獲得價值的最大值。

中心思想就是，當新納入乙個待選物品i時，這個待選物品有兩種情況，放入或者不放入，

1.放入，則它的現在的情況就是：將這第i個物品放入容量為x（0……v）的揹包中獲得的價值，也就等同於將i-1個物品放入容量為x-c(i)的揹包中獲得的價值。

2.不放入，則它的現在的情況就是：將這前i-1個物品放入容量為x（0……v）的揹包中獲得的價值，

兩種情況取其最大值，就是將前i個待選物品放入容量為x（0……v）的揹包中獲得的價值的最大值。表示式如下：

fi(v)=max

以上方法的時間和空間複雜度均為o(vn)，其中時間複雜度應該已經不能再優化了，但空間複雜度卻可以優化到o（n）。理由如下

可見，每次求新納入乙個待選物品時，總要根據上一次i-1的結果來求這一次的。所以，可以維持乙個主迴圈i,用來求當納入i個物品時，容量為x（0……v）的揹包中獲得價值最大值。

for i=1…n for v=v

…0 f(v)=max

而且更新f[v]陣列時要小心，因為這一層的（i層）f[v]用到的是上一層（i-1層）的f[v-c[i]]，所以要倒著更新f陣列。

初始條件：初始條件為放入0個物品時容量為x（0……v）的揹包獲得的最大價值，肯定為0啦。求每層的max時候，如果f(v-c[i])為負數，證明這個物品在當前容量下放不下，只能用上次迴圈的f（v）來更新這次的，即實際意義上的不放入這個物品了。**如下：

#include using namespace std;

int main(void)

int *maxvalueofx=new int [m+1];

for (int i=0;i=1;j--)

else

}} cout<

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揹包問題（01揹包）

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