目錄
1定理內容
2證明方法
3相關介紹
展開定理的內容 托勒密(ptolemy)定理指出，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。
原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等於 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。
從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關於共圓性的基本性質。
（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）
在任意凸四邊形abcd中(如右圖)，作△abe使∠bae=∠cad ∠abe=∠ acd,連線de.
則△abe∽△acd
所以 be/cd=ab/ac,即be·ac=ab·cd (1)
所以△abc∽△aed.
bc/ed=ac/ad,即ed·ac=bc·ad (2)
(1)+(2),得
ac(be+ed)=ab·cd+ad·bc
又因為be+ed≥bd
（僅在四邊形abcd是某圓的內接四邊形時，等號成立，即「托勒密定理」）
用a、b、c、d分別表示四邊形頂點a、b、c、d的複數，則ab、cd、ad、bc、ac、bd的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到複數恒等式： (a − b)(c − d) + (a − d)(b − c) = (a − c)(b − d) ，兩邊取模，運用三角不等式得。 等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與a、b、c、d四點共圓等價。 四點不限於同一平面。 平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。
設abcd是圓內接四邊形。 在弦bc上，圓周角∠bac = ∠bdc，而在ab上，∠adb = ∠acb。 在ac上取一點k，使得∠abk = ∠cbd； 因為∠abk + ∠cbk = ∠abc = ∠cbd + ∠abd，所以∠cbk = ∠abd。 因此△abk與△dbc相似，同理也有△abd ~ △kbc。 因此ak/ab = cd/bd，且ck/bc = da/bd； 因此ak·bd = ab·cd，且ck·bd = bc·da； 兩式相加，得(ak+ck)·bd = ab·cd + bc·da； 但ak+ck = ac，因此ac·bd = ab·cd + bc·da。證畢。
托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等於兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形abcd，求證：ac·bd=ab·cd+ad·bc．
證明：如圖1，過c作cp交bd於p，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△acd∽△bcp．得ac：bc=ad：bp，ac·bp=ad·bc ①。又∠acb=∠dcp，∠5=∠6，∴△acb∽△dcp．得ac：cd=ab：dp，ac·dp=ab·cd ②。①+②得 ac(bp+dp)=ab·cd+ad·bc．即ac·bd=ab·cd+ad·bc．
四、廣義托勒密定理：設四邊形abcd四邊長分別為a,b,c,d,兩條對角線長分別為m,n，則有：
m^2*n^2=a^2*c^2+b^2*d^2-2abcd*cos(a+c)
1.任意凸四邊形abcd，必有ac·bd≤ab·cd+ad·bc，當且僅當abcd四點共圓時取等號。
2.托勒密定理的逆定理同樣成立：乙個凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接於一圓
中國剩餘定理（孫子定理）
設m1,m2 mk是k個兩兩互素的正整數 則同餘方程組 x a1 mod m1 x a2 mod m2 x ak mod mk 記m m1 m2 m3 mk 有bj使mm j bj 1 m odmj 則x i 1 kmmj aj bjps x不一定是最小的需要mod m 例題 求下列同餘方程組最小解...
中國剩餘定理（孫子定理）
中國剩餘定理，也叫孫子定理，是數論中的又乙個重要定理，那麼它是幹什麼用的呢？簡單來說，這是乙個用來求一元線性同餘方程組的定理。叫做孫子定理的原因就是該定理最早可見於南北朝時期的著作 孫子算經 捲下第二十六題，叫做 物不知數 問題，原文如下 有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物...
羅爾定理 微分中值定理 廣義微分中值定理
如果乙個處處可導的函式的影象和一條水平直線交於不同的兩點 如圖所示 那麼在這兩點間的函式影象上至少存在一點處的切線平行於該水平直線 顯然也平行於x軸 這種現象可以更嚴謹地表述為羅爾定理 rolle s theorem 1 如果函式f x 在 a,b 上連續，a,b 上可導，並且f a f b 那麼至...