中國剩餘定理（孫子定理）

中國剩餘定理，也叫孫子定理，是數論中的又乙個重要定理，那麼它是幹什麼用的呢？簡單來說，這是乙個用來求一元線性同餘方程組的定理。叫做孫子定理的原因就是該定理最早可見於南北朝時期的著作《孫子算經》捲下第二十六題，叫做「物不知數」問題，原文如下：

有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？

翻譯一下，就是說，乙個數除以三餘二，除以五餘三，除以七餘二，求這個整數。

接下來，我們把這一道題作為例題，**一下如何利用孫子定理搞定同餘方程組

求解一元線性同餘方程組：

x ≡ 2 ( mod 3 )

x ≡ 3 ( mod 5 )

x ≡ 2 ( mod 7 )

解：

做題依據：

當p1 , p2 , ……互質的時候，有 x ≡ （a1 q1 q1-1

+ a2 q2 q2-1

+……）mod p

其中p = p1 p2……， qi = p / pi ，qi-1

為 qi 在模pi 意義下的逆元

求解一元線性同餘方程組：

x ≡ 3（mod 12）

x ≡ 2（mod 18）

解：

做題依據

當p不互質時，有x ≡ a1 ( mod p1 ) = = > x = a1 + p1 b1,

x ≡ a2

( mod p2 ) = = > x = a2

+ p2

b2所以p1 b1 - p2 b2 = a2 - a1

用擴充套件歐幾里得得解

因此不斷合併方程即可

2019-04-09 11:39:10

中國剩餘定理（孫子定理）

設m1,m2 mk是k個兩兩互素的正整數 則同餘方程組 x a1 mod m1 x a2 mod m2 x ak mod mk 記m m1 m2 m3 mk 有bj使mm j bj 1 m odmj 則x i 1 kmmj aj bjps x不一定是最小的需要mod m 例題 求下列同餘方程組最小解...

中國剩餘定理 即 孫子定理

中國剩餘定理 即 孫子定理 中國古代求解一次同余式組 見 同餘 的方法。是 數論中乙個重要定理。又稱中國剩餘定理。中國剩餘定理 解法如下 假設存在乙個數m m a a m b b m c c 並且a，b，c必須倆倆互質。滿足這一條件下 存在乙個r1 使得 k1 a b r1 k1 c 1.存在乙個r...

中國剩餘定理 孫子定理 模板

乙個數x，對於幾個互質的數w i 餘數分別為a i 求x最小解 模板如下 擴充套件歐幾里得演算法 ll extended euclid ll a,ll b,ll x,ll y d extended euclid b,a b,x,y ll temp x x y y temp a b y return ...