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二、三十年到開始在工業界廣泛應用，戲法變了幾十年，也該換換花樣了。pid說一千道一萬，還是經典控制理論的產物。50-60年代時，什麼 都要現代派，建築從經典的柱式、比例、細節的象徵意義，變到「形式服從功能」的鋼架玻璃盒子；汽車從用機器牽引的馬車，變到流線型的鋼鐵的藝術；控制理論 也要緊跟形勢，要現代化。這不，美國佬卡爾曼隆重推出……現代控制理論。
都看過舞龍吧？ 乙個張牙舞爪的龍頭氣咻咻地追逐著乙個大繡球，龍身子扭來扭去，還時不時跳躍那麼一兩下。中國春節沒有舞龍，就和洋人的聖誕節沒有聖誕老人一樣不可思議。 想象一下，如果這是一條看不見的盲龍，只能通過乙個人在龍尾巴後面指揮龍尾巴，然後再通過龍身體裡的人乙個接乙個地傳遞控制指令，最後使龍頭咬住繡球。這 顯然是乙個動態系統，龍身越長，人越多，動態響應越遲緩。如果只看龍頭的位置，只操控龍尾巴，而忽略龍身子的動態，那就是所謂的輸入-輸出系統。經典控制 理論就是建立在輸入-輸出系統的基礎上的。對於很多常見的應用，這就足夠了。
但是卡爾曼不滿足於「足夠」。龍頭 當然要看住，龍尾巴當然要捏住，但龍身體為什麼就要忽略呢？要是能夠看住龍身體，甚至操縱龍身體，也就是說，不光要控制龍尾巴，控制指令還要直接傳到龍身 體裡的那些人，那豈不更好？這就是狀態空間的概念：將乙個系統分解為輸入、輸出和狀態。輸出本身也是乙個狀態，或者是狀態的乙個組合。在數學上，卡爾曼的 狀態空間方法就是將乙個高階微分方程分解成乙個聯立的一階微分方程組，這樣可以使用很多線形代數的工具，在表述上也比較簡潔、明了。
卡爾曼是乙個數學家。數學家的想法就是和工程師不一樣。工程師腦子裡轉的第乙個念頭就是「我怎麼控制這勞什子？增益多少？控制器結構是什麼樣的？」數 學家想的卻是什麼解的存在性、唯一性之類虛頭八腦的東西。不過呢，這麼說數學家也不公平。好多時候，工程師憑想象和「實幹」，辛苦了半天，發現得出的結果 完全不合情理，這時才想起那些「性」（不要想歪了啊，嘿嘿），原來那些存在性、唯一性什麼的還是有用的。
還是回過來看這條龍。現在，龍頭、龍尾巴、龍身體都要看，不光要看，還要直接操控龍頭到龍尾的每乙個人。但是，這龍不是想看就看得的，不是想舞就舞得 的。說到 「看」，直接能夠測量/觀測的狀態在實際上是不多的，所謂看，實際上是估算。要是知道龍身體有多少節（就是有多少個人在下面撐著啦），龍身體的彈性/韌性 有多少，那麼捏住龍尾巴抖一抖，再看看龍頭在**，是可以估算出龍身體每一節的位置的，這叫狀態觀測。那麼，要是這龍中間有幾位童子開小差，手不好好拉 住，那再捏住龍尾巴亂抖也沒用，這時系統中的部分狀態就是不可觀測的。如果你一聲令下，部分童子充耳不聞，那這些狀態就是不可控制的。卡爾曼從數學上推導 出不可控和不可觀的條件，在根本上解決了什麼時候才不是瞎耽誤工夫的問題。這是控制理論的乙個重要里程碑。
再來看這條龍。如果要看這條龍整齊不整齊，排成縱列的容易看清楚；如果要清點人數，看每乙個人的動作，排成橫列的容易看清楚。但是不管怎麼排，這條龍還是 這條龍，只是看的角度不同。那時候中國人的春節舞龍還沒有在美國的中國城裡鬧騰起來，不知道卡爾曼有沒有看到過舞龍，反正他把數學上的線性變換和線性空間 的理論搬到控制裡面，從此，搞控制的人有了工具，乙個系統橫著看不順眼的話，可以豎著看，因為不管怎麼看，系統的本質是一樣的。但是不同的角度有不同的用 處，有的角度設計控制器容易一點，有的角度分析系統的穩定性容易一點，諸如此類，在控制理論裡就叫這個那個「標準型」。這是控制理論的又乙個里程碑。
觀測狀態的目的最終還是控制。只用輸出的反饋叫輸出反饋，經典控制理論裡的反饋都可以歸到輸出反饋裡，但是用狀態進行反饋的就叫狀態反饋了。輸出反饋 對常見系統已經很有效了，但狀態反饋要猛得多。你想想，乙個系統的所有狀態都被牢牢地瞄住，所有狀態都乖乖地聽從調遣，那是何等的威風？
儘管學控制的人都要學現代控制理論，但大多數人記得卡爾曼還是因為那個卡爾曼濾波器（kalman filter）。說它是濾波器，其實是乙個狀態觀測器（state observer），用來從輸入和輸出「重構」系統的狀態。這重構聽著玄妙，其實不複雜。不是有系統的數學模型嗎？只要模型精確，給它和真實系統一樣的輸 入，它不就乖乖地把系統狀態給計算出來了嗎？且慢：微分方程的解不光由微分方程本身決定，還有乙個初始條件，要是初始條件不對，微分方程的解的形式是正確 的，但是數值永遠差一拍。卡爾曼在系統模型的微分方程後再加了乙個尾巴，把實際系統輸出和模型計算的理論輸出相比較，再乘上乙個比例因子，形成乙個實際上 的狀態反饋，把狀態重構的偏差漸進地消除，解決了初始條件和其他的系統誤差問題。卡爾曼濾波器最精妙之處，在於卡爾曼推導出乙個系統的方法，可以考慮進測 量雜訊和系統本身的隨機雜訊，根據訊雜比來決定上述比例因子的大小。這個構型其實不是卡爾曼的獨創，隆伯格（luenburg）也得出了類似的結構，但是 從系統穩定性角度出發，來決定比例因子。同樣的結構大量用於各種「**-校正」模型結構，在工業上也得到很多應用，比如聚合反應器的分子重量分布可以用反 應器的溫度、進料配比、催化劑等來間接計算，但不夠精確，也無法把林林總總的無法測量的干擾因素統統包括進數學模型裡，這時用實驗室測定的真實值來定期校 正，就可以結合數學模型及時的特點和實驗室結果精確的特點，滿足實時控制的要求，這或許可以算靜態的卡爾曼濾波器吧。卡爾曼濾波器最早的應用還是在雷達 上。所謂邊掃瞄邊跟蹤，就是用卡爾曼濾波器估計敵機的位置，再由雷達的間隙掃瞄結果來實際校正。實際應用中還有乙個典型的問題：有時候，對同乙個變數可以 有好幾個測量值可用，比如有的比較直接但不精確，有的是間接的估算，有很大的滯後但精確度高，這時可以用卡爾曼濾波器把不同**的資料按不同的訊雜比加權 「整合」起來，也算是民用版的「感測器融合」（sensor fusion）吧。
除了卡爾曼濾波器外，卡爾曼的理論在實際中用得不多，但是卡爾曼的理論在理論上建立了乙個出色的框架，對理解和研究控制問題有極大的作用。順便說一句，卡爾曼的理論基本侷限於線形系統，也就是說，十塊大洋買一袋公尺，二十塊大洋就買兩袋公尺，都是成比例的。實際系統中有很多非線性的，兩千塊 大洋還能買兩百袋公尺，但兩千萬大洋就要看公尺倉有沒有貨了，市場漲不漲價了，不是錢越多，買的公尺越多，有乙個非線性的問題。非線性的問題研究起來要複雜得 多。實際系統還有其他特性，有的是所謂時變系統，像宇宙火箭，其質量隨時間和燃料的消耗而變，系統特性當然也就變了。很多問題都是多變數的，像汽車轉彎， 不光方向盤是乙個輸入，油門和剎車也是輸入變數。但是，狀態空間的理論在數學表述上為線性、非線性、單變數、多變數、時變、時不變系統提供了乙個統一的框 架，這是卡爾曼最大的貢獻。
現代控制理論資料
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