動態規劃演算法備忘

步驟

1，滿足dp演算法的必要條件：最優子結構

2，定義遞迴函式， <-- 這步是關鍵，

3，自底向上計算遞迴函式

4，從計算過程儲存的資訊中，構造最優解的細節

很多實際問題需要從所有可能的情況中找出所需要的情況，有時這沒有公式，唯一的辦法是搜尋、窮舉，而隨著問題規模擴大，單純的窮舉耗費問題規模的指數時間，對於大規模的問題，即使用計算機解決也很不可取。當問題具有最優子結構時，相同的子問題只需要計算一次，在自底向上的求最優解過程中，僅有子問題就能在可接受的時間複雜度內，計算出更接近最終最優解的子問題，最終完成最優解的計算。動態規劃演算法的這個特點：對子問題只計算一次，可以看做對窮舉演算法的乙個很有效的剪枝。使得演算法時間複雜度有很大很進。dp的自底向上計算過程是對最優子結構的運用：新問題被分解成一系列子問題，這些子問題的最優解都已求出，這時新問題的最優解面臨一系列選擇，從這一系列選擇中構造新問題的最優解，依次類推以新問題為子問題構造更新的問題，直至原問題的最優解。這就是dynamic programming。

舉例備忘

描述：

在二維座標上給n個點(n是偶數)的座標,座標都是整數,可以任意聯接其中兩點(不管中間有沒有障礙),這兩點就消失了(和遊戲裡的一樣).但消去兩點的路徑和兩個點的位置有關,也就是說路徑的長度等於兩點x軸與y軸差的絕對值之和.比如乙個點座標為(10,10),另外乙個點座標為(2,3),那麼消去這兩個點的路徑長度為8+7=15.問消去所有點的路徑長度之和最小值是多少?

動態規劃解法：

輸入點對 p1, p2, p3, ... , pn 。座標(x, y)，點對的和表示為: distance(i,j) = | pi.x - pj.x | + | pi.y - pj.y | ，求點對序列s：(s1,s2), (s3,s4), ... , (sn-1, sn)，使得 distance(s1,s2) + distance(s3,s4) + ... + distance(sn-1,sn)最小， 1 <= s1, s2, ..., sn <= n。

1，最優子結構顯而易見，從最優解中任意剔除一對點，得到的點對也是剩餘的點的最優解。

2，遞迴函式：

遞迴函式s（len, i, j)定義為：從對點長度為len對，且所有點對中不包含點pi，pj時，可以找到的所有的len對點對序列中最小長度和的點對序列。 1 <= len <= n / 2，1 <= i, j <= n;

e(len, i, j, k），表示某個最優解為s(len, i, j)的子問題中是否含有pk，用0代表s(len, i, j)包含pk， 1代表不包含。

那麼，已知所有點對長度為len - 1的s(len - 1, i, j)時(對給定長度len，s共有n(n-1)/2種)，求一新問題s(len,i,j)的最小值時，假定新問題包括某一點對(k,l)，考慮下面兩種情況：

1，如果s(len-1,k,l)不包括i和j，那麼如果包含點k,l的s(len,i,j)最小值肯定是等於s(len-1,k,l)+d(k,l)，因為s(len-1,k,l)的定義就是長度為len-1且不包括(k,l)的子問題最優解。

2，如果s(len-1,k,l)包含了i,j，s(len, i, j)仍然可能包含點k,l，因此這種情況下不應該捨棄點k,l，而應該在長度為len-1的所有(n^2/2-n)個子問題s(len-1,x,y)中選擇乙個不包含點k,l和點i,j的子問題s(len-1,sub_i,sub_j)，由s(len-1,sub_i,sub_j)+d(k,l)構成s(len, i, j)。

從上訴兩種情況中，得出s(len,i,j)，即：從所有(k,l)點對假設中得到的一系列s(len,i,j)的最小值。

綜合以上分析，得到遞迴函式s和e：

s(len, i, j) = min + d(k, l) : 所有非i, j的點k, l

} = s(len - 1, sub_i, sub_j) + d(new_i, new_j)

s式中對點的包含關係用e陣列來記錄，e陣列也遞迴計算：

e(len, i, j, k) = e(len - 1, sub_i, sub_j, k)（k為變數），且 e(len, i, j, new_i) = 0 且 e(len, i, j, new_j) = 0

s式和e式就是該問題的乙個dp解法的遞迴函式。

直覺上，s陣列代表共有n^3/2個子問題，每個子問題由(n^2/2-n)個(k,l)假設計算得到，每個(k,l)假設)要考慮所有len-1的(n^2/2 - n)個子問題s(len-1, x, y)，所以t = o(n^7)

剩下的3，4步驟已經很容易

複雜度: 時間7次方，空間4次方！！！！！！！！！！！！！！！

實現：

動態規劃演算法備忘

動態規劃演算法

動態規劃演算法

動態規劃演算法

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