動態規劃演算法

斐波納契數列f(n)

遞迴 vs 動態規劃

遞迴版本（太慢）:

int f(int n)

動態規劃版本（有效率!演算法複雜度是 o(n)）：

int a[1000];
int f(int n)

構造乙個公式，它表示乙個問題的解是與它的子問題的解相關的公式. e.g. f(n) = f(n-1) + f(n-2).

為這些子問題做索引，以便它們能夠在表中更好的儲存與檢索 (i.e., 陣列array)

以自底向上的方法來填寫這**; 首先填寫最小子問題的解.

這就保證了當我們解決乙個特殊的子問題時, 可以利用比它更小的所有可利用的子問題的解.

演算法思想:

將待求解的問題分解成若干個子問題，並儲存子問題的解而避免計算重複的子問題，並由子問題的解得到原問題的解。

動態規劃演算法通常用於求解具有某種最優性質的問題。

動態規劃演算法的基本要素：最優子結構性質和重疊子問題。

原理：重疊子問題：在用遞迴演算法自頂向下解問題時，每次產生的子問題並不總是新問題，有些問題被反覆計算多次。對每個子問題只解一次，然後將其解儲存起來，以後再遇到同樣的問題時就可以直接引用，不必重新求解。

解決問題的基本特徵：

1. 動態規劃一般解決最值（最優，最大，最小，最長……）問題；

2. 動態規劃解決的問題一般是離散的，可以分解（劃分階段）的；

3. 動態規劃解決的問題必須包含最優子結構，即可以由（n－1）的最優推導出n的最優

解決問題的基本步驟:

動態規劃演算法的4個步驟：

1. 刻畫最優解的結構特性. （一維，二維，三維陣列）

2. 遞迴的定義最優解. （狀態轉移方程）

3. 以自底向上的方法來計算最優解.

4. 從計算得到的解來構造乙個最優解.

例題一. 斐波納契數列f(n)

步驟1：用f（n）表示在斐波納契數列中第n個數的值；

步驟2：狀態轉移方程：

步驟3：以自底向上的方法來計算最優解

nf(n)

步驟4：在陣列中分析構造出問題的解；

例題二. 輸入n，求出n！

步驟1：用f（n）表示n！的值；

步驟2：狀態轉移方程：

步驟3：以自底向上的方法來計算最優解

nf(n)

例題三：排隊買票問題

一場演唱會即將舉行。現有n個歌迷排隊買票，乙個人買一張，而售票處規定，乙個人每次最多只能買兩張票。假設第i位歌迷買一張票需要時間 ti（1≤i≤n），隊伍中相鄰的兩位歌迷（第j個人和第j+1個人）也可以由其中乙個人買兩張票，而另一位就可以不用排隊了，則這兩位歌迷買兩張票的時間變為rj，假如rj分析：

如果前i個人買票的最優買票方式一確定，比如第i-1個人買一張票，則前i-1個人的買票方式也一定是最優的。即問題的最優解包含子問題的最優解。

步驟1：用f（i）表示前i個人買票的最優方式，即所需最短時間；現在要決定f(i)需要考慮兩種情況：

（1）第i個人的票自己買

（2）第i個人的票由第i-1個人買

步驟2：狀態轉移方程：

步驟3：以自底向上的方法來計算最優解

程式的實現（偽**）：

buyticks(t, r)
1    n ← length[t] 
2    f[0] ← 0
3    f[1] ← t[1]
4for i ← 2 to n do
5                 f[i] ← f[i-2]+r[i-1]
6if  f[i] > f[i-1]+t[i] then 
7                     f[i] ← f[i-1]+t[i]
8return f

動態規劃演算法

動態規劃演算法

動態規劃演算法

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