思想與性質
首先，動態規劃最重要的是掌握他的思想，動態規劃的核心思想是把原問題分解成子問題進行求解，也就是分治的思想。
那麼什麼問題適合用動態規劃呢？我們通過乙個現實中的例子，來理解這個問題。大家可能在公司裡面都有一定的組織架構，可能有高階經理、經理、總監、組長然後才是小開發，今天我們通過這個例子，來講講什麼問題適合使用動態規劃。又到了一年一度的考核季，公司要挑選出三個最優秀的員工。一般高階經理會跟手下的經理說，你去把你們那邊最優秀的3個人報給我，經理又跟總監說你把你們那邊最優秀的人報給我，經理又跟組長說，你把你們組最優秀的三個人報給我，這個其實就動態規劃的思想！
首先是重疊子問題，不同的問題，可能都要求1個相同問題的解。假如a經理想知道他下面最優秀的人是誰，他必須知道x,y,z,o,p組最優秀的人是誰， 甲總監想知道自己下面最優秀的人是誰，也要去知道x,y,z組裡面最優秀的人是誰？這就有問題重疊了，兩個人都需要了解x,y,z三個小組最優秀的人。
其次是最優子結構，最優解肯定是有最優的子解轉移推導而來，子解必定也是子問題的最優解。甲總監下面最優秀的3個人肯定是從x,y,z提交上來的3份名單中選擇最優秀的三個人。例如q哥是x組長下面的第5名，那麼他肯定不可能是甲總監下面最優秀的三個。
第三是無後效性，這個問題可能比較難理解，也就是求出來的子問題並不會因為後面求出來的改變。我們可以理解為，x組長挑選出三個人，即便到了高階經理選出大部門最優秀的三個人，對於x組來說，最優秀的還是這3個人，不會發生改變。 過程
動態規劃問題，大致可以通過以下四部進行解決。
1.劃分狀態，即劃分子問題，例如上面的例子，我們可以認為每個組下面、每個部門、每個中心下面最優秀的3個人，都是全公司最優秀的3個人的子問題
2.狀態表示，即如何讓計算機理解子問題。上述例子，我們可以使用f[i][3]表示第i個人，他手下最優秀的3個人是誰。
3.狀態轉移，即父問題是如何由子問題推導出來的。上述例子，每個人大leader下面最優秀的人等於他下面的小leader中最優秀的人中最優秀的幾個。
4.確定邊界，確定初始狀態是什麼？最小的子問題？最終狀態又是什麼。例如上述問題，最小的子問題就是每個小組長下面最優秀的人，最終狀態是整個企業，初始狀態為每個領導下面都沒有最優名單，但是小組長下面擁有每個人的評分。
經典模型
1.線性模型
最經典的問題就是斐波那楔數列的問題，每個數的值都是乙個狀態，可以用f[i]表示表示第i個數的值是多少。每個數都是由f[i-1]+f[i-2]轉移而來。
另外乙個經典的問題就是最長上公升自序列（lis），有一串串行，要求找出它的一串子串行，這串子序列可以不連續，但必須滿足它是嚴格的單調遞増的且為最長的。把這個長度輸出。示例：1 7 3 5 9 4 8 結果為4。
我們非常容易表示他的狀態，我們用f[i]表示以第i個數結尾的，最大的上公升自序列是多少？那麼它是怎麼轉移的呢？非常容易想到肯定是從左邊的的數轉移而來，能轉移的數滿足什麼條件呢？肯定是比a[i]更小的。
線性模式還可以拓展成二維問題，例如揹包問題，用f[i][j]表示前i個物品，湊成大小為j的揹包，最大的價值是多少。
這類問題非常的多，但是思路都是這樣，無非就是從左往右，從上到下，從低維到高維進行轉移。
2.區間模型
對於每個問題，都是由子區間推導過來的，我們稱之為區間模型，下面是乙個例子。
我們有乙個連續的序列，每個序列上面都是乙個數字c[i]，每次我們都能夠消滅乙個連續的回文子串行，消滅之後左右會合併，成為乙個新序列，問最少需要多少次才能夠把整個序列消滅掉。回文就是從左到有從右到左讀到的序列都是一樣的。
題目比較抽象，我們通過一些例子來說明這個問題吧？例如一開始的序列是1 4 4 2 3 2 1，那麼我們最少需要2次，先消滅掉4 4 ， 然後再消滅調1 2 3 2 1.
第二個例子是 1 2 3 4 5 5 3 1，我們先消滅掉2 然後再消滅掉4， 最後消滅 1 3 5 5 3 1， 需要3次。
我們經常用f[i][j]來表示消滅i,j區間需要的代價，文末有鏈結詳細敘述這個問題，大家感興趣的可以看一看。
3.樹狀模型
我們在資料結構樹上面進行最求最優解、最大值等問題，上述我們講的這個績效考核就是乙個樹狀模型，具體不再累敘。
實現的套路
我們實現動態規劃演算法，常用的是2個實現套路，乙個是自底向上，另外乙個是自頂向下。無論是何種方式，我們都要明確動態規劃的過程，把狀態表示、狀態轉移、邊界都考慮好。
1.自底向上，簡單來說就是根據初始狀態，逐步推導到最終狀態，而這個轉移的過程，必定是乙個拓撲序。如何理解這個拓撲序問題呢，甲總監下面有x,y,z兩個小組，甲總監不會一拿到x組最優秀的三個人，就立馬去跟a經理匯報，而是要等到y,z小組也選出來之後，也就是自己下面所有子問題都解決了，才會繼續向匯報。如果推導的過程不是乙個拓撲序，那麼要麼得到錯誤的結果，要麼演算法就要退化。
自底向上一般用來解決什麼問題呢？那就是可以輕鬆確定拓撲序的問題，例如線性模型，都是從左往右進行轉移，區間模型，一般都是從小區間推導到大區間。自底向上的乙個經典實現是斐波那楔數列的遞推實現，即f[i] = f[i - 1] + f[i - 2] 。
2.自頂向下，也就是從最終狀態出發，如果遇到乙個子問題還未求解，那麼就先求解子問題。如果子問題已經求解，那麼直接使用子問題的解，所以自頂向下動態規劃又有乙個形象生動的名字，叫做記憶化搜尋，一般我們採用遞迴的方式進行求解。
自頂向下，我們一般用在樹上面，因為我們根據父親結點，很容易找到所有的子問題，也就是所有的子結點，而自底向上的話，我們要去統計這個結點的所有兄弟結點是否已經實現。會稍微複雜一點，而且比較難理解。
無論是自頂向下還是自底向上，都只是**實現的一種套路，隨便你採用哪乙個，都是可以解的，只是看你的選擇而已。
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