n階差分方程重根計算公式的一般證明
設(x-a)^n=0,則它的解的形式為a^n,n*a^n,n^2*a^n...,n^(n-1)*a^n
下面採用數學歸納法證明：
即在(x-a)^(n+1)=0時，它的解形式為：a^(n+1),(n+1)*a^(n+1),(n+1)^2*a^(n+1)...,(n+1)^(n)*a^(n+1)
目前設一般形式為(n+1)^s*a^(n+1) , （其中0<=s<=n,不能取到n+1 )
將(n+1)^s*a^(n+1)代入(x-a)^(n+1)中有：
result=sum (其中0=< k <=n+1)
goresult=a^(2*n+2)* sum
在這裡首先n是固定的，先假定s是不變的，然後假定k是不變的，對於{}中的多項式(n+1+k)^s用newton展開有：
goresult=a^(2*n+2)* sum *(-1)^(n+1-k) } (其中0=< k' <=s)
gok在第二個sum裡面是定的,所以運用前面的技巧c(n+1,k)*(n+1)^k'=c(n+1-1,k-1)*(n+1)^(k'-1):
result=a^(2*n+2)* sum *(-1)^(n+1-k) } (其中0=< k' <=s)
go對(n+1)^(k'-1) 運用newton展開有:
這裡(其中0=< k'-1 <=s-1)
result=a^(2*n+2)* sum *k^(s-k') } *(-1)^(n+1-k) }
goresult=a^(2*n+2)* sum *k^(s-k') } *(-1)^(n+1-k) }
注意由數學歸納法可以知道：
其中最內層的sum和為0，這個是(x-a)^n=0時解應該滿足的條件。
從而得到證明。
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