以下面的二階線性差分方程為例
$ay_+by_+cy_t = d$
我們在求該差分方程的齊次解（通解）時，會令等式右邊等於0，得到二階齊次線性差分方程：
$ay_+by_+cy_t = 0$
並假設$y_t = a\omega^t$
$a\omega^2+b\omega+c = 0$
這個一元二次方程的根為
$\omega = \frac}$
$\omega$是該方程的根（characteristic root），又稱為該方程的特徵值（eigen value）。此時$\omega$可以分成三種情況討論。
$b^2-4ac >0 $
此時$\omega$分別為兩個不相同的實數
差分方程的齊次解為：
$y_h(t) = a_1\omega_1^t+a_2\omega_2^t$
$b^2-4ac = 0$
此時$\omega$為重根
差分方程的齊次解為：
$y_h(t) = (a_1n+a_2)\omega^t$
$b^2-4ac <0$
此時$\omega$分別為兩個共軛複數
$\omega = -\frac \pm \frac} = h\pm iv$
即有：$\left\
h &= &-\frac \\
v &= &\frac}
\end\right.$
差分方程的齊次解為：
$y_h(t) = a_1(h+iv)^t + a_2(h-iv)^t$
該共軛的根還可以從極座標方面進行討論
$h\pm iv = r(cos \theta \pm isin\theta)$
其中$r = \sqrt = \sqrt \right|}$
即r是乙個固定的實數。
差分方程的齊次解為
$\begin
y_h(t)
&= a_1r^t(cos\theta + isin\theta)^t + a_2r^t(cos\theta-isin\theta)^t \\
&= a_1r^t(cos\theta t+isin\theta t)+a_2r^t(cos\theta t-isin\theta t) \qquad de\ moivre's\ theorem\\
&=\left|\frac\right|^}(a_1(cos\theta t+isin\theta t)+a_2(cos\theta t-isin\theta t)) \\
&=\left|\frac\right|^}(b_1cos\theta t+b_2sin\theta t) \qquad \left\
b_1 &= a_1+a_2\\
b_2 &= (a_1-a_2)i
\end\right.
\end$
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