代數方程與差分方程模型
原創tianguiyuyu 發布於2018-05-29 23:13:18 閱讀數 1149 收藏
展開1 代數方程模型。
所謂的代數方程模型就是有一邊變數表示未知量，
代數方程，即由多項式組成的方程。有時也泛指由未知數的代數式所組成的方程，包括整式方程、分式方程和根式方程。
例如：5x+2=7，x=1等。 代數，把algebra翻譯成代數，就是用字母代替數的意思，繼而推廣。隨著數學的發展，內在涵義又推廣為用群結構或各種結構來代替科學現象中的各種關係。也就是說「代數」本質是個「代」字，通過研究各種抽象結構「代替」直接研究科學現象中的各種關係。
2 差分方程模型
就我個人的觀點而言，差分方程模型最重要的作用在於，當我們在解微分方程的時候，有時候微分方程很難直接解，那麼這個時候，我們就可以將微分方程的連續化變成離散的。通過找到乙個遞推式和知道初始條件，那麼就可以近似的求解出微分方程的最終解。講個笑話，高中數學中的等差數列的通項就是差分方程的形式。
在數學上，遞推關係（recurrence relation），也就是差分方程（difference equation），是一種遞推地定義乙個序列的方程式：序列的每一專案是定義為前一項的函式。某些簡單定義的遞推關係式可能會表現出非常複雜的（混沌的）性質，他們屬於數學中的非線性分析領域。
所謂解乙個遞推關係式，也就是求其解析解，即關於n的非遞迴函式。
意義性質編輯
意義在數值分析中首先遇到的問題是如何把微分方程化成相應的差分方程 ，使得差分方程的解能最好地近似表示原來的微分方程的解 ，其次才是進行計算。 [2]
比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是乙個微分方程， x取值[0,1]
(注：解為y(x)=e^(-x));
要實現微分方程的離散化，可以把x的區間分割為許多小區間 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1]
這樣上述微分方程可以離散化為：差分方程y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 個離散方程組）
利用y(0)=1的條件，以及上面的差分方程，就可以計算出 y(k/n) 的近似值了。
性質性質1 δk(xn+yn)=δkxn+δkyn
性質2 δk(cxn)=cδkxn
性質3 δkxn=∑（-1)jcjkxn+k-j
性質4 數列的通項為n的無限次可導函式，對任意k>=1，存在η，有 δkxn=f(k）（η）
差分方程編輯
概念設為實序列，若滿足如下關係式ut-ᵠ1ut-1-…-ᵠput-p=h(t)，其中ᵠ1，ᵠ2…，ᵠp為實數，h(t)為t
差分方程(5張)
的已知實函式，則稱上式為所滿足的線性差分方程。
如將上式中的確定性函式ut，h (t)代之以統計特性已知的隨機序列，於是便得到線性隨機差分方程。在時間序列分析中並不討論這樣廣泛的模型，只涉及一種特殊的線性隨機差分方程：
xt-ᵠ1xt-1-…-ᵠpxt-p=εt-θ1εt-1-…-θqεt-g
其中ᵠ1， …，ᵠp， 及θ1， …，θg為實數， 是零均值平穩序列，是平穩白雜訊序列，且當s>t時eεsxt=0上述特定的線性隨機差分方程就是時間序列分析中的arma (p，g) 模型。 [3]
形如yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t)的差分方程，稱為n階非齊次線性差分方程。其中a1(t），a2(t），…，an-1(t），an(t）和f(t）都是t的已知函式，且an(t）≠0，f(t）≠0。
而形如yt+n+a1(t)yt+n-1+…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=0的差分方程，稱為n階齊次線性差分方程。其中ai(t)(i=1，2，…，n）為t的已知函式，且an(t）≠0。
如果ai(t)=ai(i=1，2，…，n）均為常數（an≠0），則有
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=f(t），
yt+n+a1yt+n-1+a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0。
分別稱為n階常係數非齊次線性差分方程和n階常係數齊次線性差分方程。
定理定理1（齊次線性差分方程解的疊加原理）
若y1(t），y2(t），…，ym(t）是齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2+…+an-1yt+1+anyt=0的m個特解（m≥2），則其線性組合y(t)=a1y1(t)+a2y2(t)+…+amym(t）也是方程 的解，其中a1，a2，…，am為任意常數。
定理2n階齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0一定存在n個線性無關的特解。
定理3（齊次線性差分方程通解結構定理）
如果y1(t），y2(t），…，yn(t）是齊次線性差分方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的n個線性無關的特解，則方程 的通解為：ya(t)=a1y1(t)+a2y2(t)+…+anyn(t），其中a1，a2，…，an為n個任意（獨立）常數。
定理4（非齊次線性差分方程通解結構定理）
如果 (t）是非齊次線性方程yt+n+a1(t)yt+n-1+a2(t)yt+n-2 +…+an-1(t)yt+1+an(t)yt=f(t）的乙個特解，ya(t）是其對應的齊次線性方程yt+n+a1yt+n-1 +a2yt+n-2 +…+an-1yt+1+anyt=0的通解，那麼，非齊次線性差分方程的通解為：y(t)=ya(t)+ (t)，即y(t)=a1y1(t)+a2y2(t)+…+anyn(t)+ (t），這裡a1，a2，…，an為n個任意（獨立）常數。
通解特解
齊次差分方程的通解
將方程yt+1+ayt=0改寫為：yt+1=-ayt，t=0，1，2，…。假定在初始時刻（即t=0）時，函式yt取任意值a，那麼由上式逐次迭代，算得
y1=-ay0=-aa，y2=-ay1=(-a)2a，………………差分方程方程的通解為yt =a(-a)t ，t=0，1，2，…
如果給定初始條件t=0時yt=y0，則a=y0，此時特解為：yt =y0(-a)t。
差分方程非齊次方程的通解與特解
迭代法求通
將方程改寫為 yt+1=(-a)yt+f(t）， t=0，1，2，…。
逐步迭代，則有
y1=(-a)y0+f(0），y2=(-a)2y0+(-a)f(0)+f(1），y3=(-a)3y0+(-a)2f(0)+(-a)f(1)+f(2），………………
由數學歸納法，可得ya(t)=(-a)ty0為對應的齊次方程的通解。
應用編輯
存款模型
設st為t期存款總額，i為存款利率，則st與i有如下關係式：
st+1=st+ist=(1+i)si， t=0，1，2，…
其中s0為初始存款總額。
動態供需均衡模型（蛛網定理）
用來分析商品當**和產品失去平衡時，經濟狀態發生不同波動情況的理論模型。設需求方程：pt=d(qdt)，即qdt=c+bpt
供給方程：qst=s(pt-1)，即qst=g+hpt-1圖b
其中：p——**;
d——需求函式;
s——供給函式;
q——產量;
b——邊際需求傾向;
h——邊際供給傾向。
現在的**同前期的**相關。均衡條件是：圖c
a+bpt=g+hpt-1。
化為一階線性差分方程的通式：
在正常供求條件下，b<0，h>0，故h/b≠1。解得：
由於b<0，h>0，得h/b<0。故時間軌跡為振盪(其圖形參看一階線性差分方程的通式條目)。
若|h|<|b|，即|h/b|<1，**變動對**量的影響小於對需求量的影響，波動逐漸減弱，經濟狀況趨於均衡。pq圖如(a)所示。
若|h|>|b|，即|h/b|>1，**變動對**量的影響大於需求量的影響，時間軌跡為發散。pq圖如(b)所示。
若|h|=|b|，即h/b=-1，時間軌線的振盪型態相同，波動將一直迴圈下去。pq圖如(c)所示。
三種情況的圖形均似蛛網，故該模型稱為蛛網模型
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本文最初寫於 2010 07 21 於 sohu 部落格，這次部落格搬家一起搬到這裡來。solve expr,x solve expr solve eqn 1,eqn n x 1,x n 幾個例子 realroots 計算多項式方程的數值解.realroots expr,bound realroot...
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