本篇部落格僅針對定理的應用、實現進行總結，至於證明「前人之述備矣」，所以這裡就不贅述了。我絕對不會告訴你，是因為博主又笨又懶不會證！
\(kirchhoff\) 矩陣樹定理（簡稱矩陣樹定理）用於解決一張圖的生成樹個數計數問題。
對於⼀個⽆向圖 \(g\) ，它的⽣成樹個數等於其基爾霍夫 \(kirchhoff\) 矩陣任何⼀個 \(n-1\) 階主⼦式的⾏列式的絕對值。\(★\): 在矩陣樹中，無論有向、無向邊都允許重邊，但是不允許自環的存在。
對於任意乙個行列式，我們都可以通過以上性質將其轉化為上三角或下三角矩陣。其值就是對角線的乘積。因此，我們要用到高斯消元求值。
高斯消元大家都會吧？ 那玩意兒跟我有仇，我是不會講它的！！！
\(kirchhoff\) 矩陣 \(k\) = 度數矩陣 \(d\) - 鄰接矩陣 \(a\);
具體構造：
對於無向圖，我們可以直接寫乙個加邊函式：
inline void add(int x,int y)首先，先確定邊統一的方向，到底是內向樹還是外向樹。
內/外向樹，顧名思義嘛~ 內向樹就是從外向根拓展，方向向內，外向樹就是從根向外拓展，方向向外。感性理解一下啦~
這裡引用command_block巨佬在部落格中的介紹方法，
前面都是無向圖,神奇的是有向圖的情況也是可以做的。所以，建邊方式為：(鄰接矩陣 \(a\) 的意義同有向》 圖鄰接矩陣)
那麼現在的矩陣 \(d\) 就要變一下了。
若 \(d[i][i] = \sum_^n a[j][i]\),即到該點的邊權總和(入)。
此時求的就是外向樹 (從根向外)
若 \(d[i][i] = \sum_^n a[i][j]\),即從從該點出發的邊權總和(出)。
此時求的就是內向樹 (從外向根)
此外,既然是有向的,那麼就需要指定根。
前面提過要任意去掉第 \(k\) 行與第 \(k\) 列,是因為無向圖所以不用在意誰為根。
在有向樹的時候需要理解為指定根,結論是 : 去掉哪一行就是那乙個元素為根。
inline void add(int x,int y)inline void add(int x,int y)這裡就以無向圖和內向樹舉例：
if(!opt)
else
}
下面是具體的分類例題講解~
題目鏈結
矩陣樹定理如下（上面提到過）：
對於乙個無向圖 \(g\) ，它的生成樹個數等於其基爾霍夫 \(kirchhoff\) 矩陣任何乙個 \(n-1\) 階主子式的行列式的絕對值。因為要求房子聯通，所以就是要將房子看作點，如果兩個房子相鄰，就連邊。
詳細題解和**點這裡~
題目鏈結
其實我的想法就是直接把病毒看做乙個無向圖，連好邊之後用矩陣樹定理就好了。
具體加邊操作如下：
for(int i = 1; i <= n; i ++) add(i,n + 1);
//把中心點記作 n+1, 加的是內邊。
for(int i = 1; i < n; i ++) add(i,i + 1);
//加外邊
add(n,1)；
題目鏈結
題解啥的就先咕了吧，什麼時候有時間了再補~
**實現：
#include#include#includeusing namespace std;
#define ll long long
const int mod = 2007;
int f,sum[405][405];
char c;
inline void read(int &x)
while(c <= '9' && c >= '0') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
x *= f;
} inline int solve(int n)
} ans = (ans * sum[i][i] % mod + mod) % mod;
} return ans;
}int main()
memset(sum,0,sizeof(sum));
for(int i = 1; i <= n; i ++)
printf("%d\n",solve(n - 1));
} return 0;
}
\(will\)
\(be\)
\(finished\)
\(sometime\)......
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pn 其中p為1 n的任意乙個排列，p 表示排列p逆序對數 形象的表示就是 在這個n 3的矩陣中，每一條線就代表著d1 p1 d2,p 2 d3 p3 dn,p n d1,p1 d 2,p2 d3,p3 d n,pn 其中可以發現，相連的斜線為 就會讓逆序對數 1，就不增加 具體怎麼算呢？比如說上圖...
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對矩陣 a begina a a dots a a a a cdots a vdots vdots vdots ddots vdots a a a dots a a a a dots a end 它的行列式定義為 det a sum 1 ra a cdots a 其中 p 是 1 sim n 的排列...
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這也是乙個黑科技 設乙個無向圖的鄰接矩陣為 a 度數矩陣為 d 則基爾霍夫矩陣 k d a 的行列式的值就是生成樹的個數。注意這裡的 k 是要把最後一行和最後一列去掉的。證明？不存在的 它還有乙個擴充套件，叫做變元矩陣樹定理 若將鄰接矩陣的 a i j 設為邊權，度數矩陣的 d i i 設為與 i ...